積分公式チートシート

この積分公式チートシートでは、微積分で最初に使う標準的な不定積分の公式をまとめています。被積分関数がべき関数、$1/x$、指数関数、基本的な三角関数などの既知の形にそのまま当てはまるときに使います。

いちばん大事なのは形の見分けです。式が和や差なら、たいていは項ごとに積分できます。積、商、合成関数になっている場合は、別の方法が必要になることがあります。

主な積分公式

• べき乗の公式:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$

• 対数になる場合:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

• 指数関数の公式:

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C, \qquad a > 0,\ a \ne 1$$

• 基本的な三角関数の公式:

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

これらの多くに共通するのが、線形性という性質です。

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

これは和と差に対して成り立ちます。積を別々の積分に分けてよい、という意味ではありません。

多くの学生が見落とす例外

$n = -1$ のときは、べき乗の公式は使えません。この場合、$x^n = x^{-1} = \frac{1}{x}$ なので、不定積分は対数になります。

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

$\frac{x^0}{0}$ と書いてしまうと意味をなさないため、この場合は別に扱う必要があります。

複数の積分公式を使う例題

次を求めます。

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx$$

各項は標準的な公式に当てはまるので、線形性を使って1項ずつ積分します。

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$ $$\int -4\sin x\,dx = 4\cos x$$ $$\int 5e^x\,dx = 5e^x$$

結果を足し合わせ、積分定数を付けます。

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5e^x + C$$

微分して確認します。

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5e^x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + 5e^x$$

この最後の確認は、符号ミスを見つけるいちばん速い方法です。

積分公式でよくあるミス

1. 積分定数を忘れること。不定積分の答えには $+C$ を付けます。
2. $n=-1$ のときにべき乗の公式を使うこと。$\int x^{-1}\,dx$ はべき乗の公式ではなく、$\ln|x| + C$ です。
3. 積分が掛け算に分配されるかのように、積を分けてしまうこと。一般に、$\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$ です。
4. 微分公式をそのまま写して、逆向きに丁寧に考えないこと。たとえば、$\int \sin x\,dx$ は $\cos x + C$ ではなく、$-\cos x + C$ です。

積分公式を使うタイミング

簡単な式変形のあとで、被積分関数がすでに標準的な形に一致しているなら、直接積分公式を使います。典型例は、多項式、基本的な三角関数、単純な指数関数です。

被積分関数が既知の形に当てはまらないなら、無理に公式を使う前に立ち止まりましょう。積の形では部分積分、合成関数の形では置換積分が必要になることがよくあります。

似た問題に挑戦

$\int \left(6x - 2\cos x + \frac{3}{1+x^2}\right)\,dx$ を自分で解いてみましょう。各項が標準公式に当てはまり、最後の答えを微分して元の被積分関数に戻れば、このチートシートを正しく使えています。