Guia rápido de fórmulas de integração

Este guia rápido de fórmulas de integração reúne as regras padrão de primitivas que os estudantes usam primeiro no cálculo. Use-o quando o integrando já corresponder a um padrão conhecido, como uma potência, $1/x$, uma exponencial ou uma função trigonométrica básica.

A principal tarefa é reconhecer padrões. Se a expressão for uma soma ou diferença, geralmente você pode integrar termo a termo. Se for um produto, quociente ou composição, talvez seja necessário usar outro método.

Principais Fórmulas de Integração

• Regra da potência:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$

• Caso logarítmico:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

• Regras das exponenciais:

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C, \qquad a > 0,\ a \ne 1$$

• Regras trigonométricas básicas:

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

Uma regra conecta a maioria desses exemplos: a linearidade.

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Isso funciona para somas e diferenças. Isso não significa que você pode separar um produto em integrais distintas.

A Exceção que a Maioria dos Estudantes Esquece

A regra da potência não funciona quando $n = -1$. Nesse caso, $x^n = x^{-1} = \frac{1}{x}$, e a primitiva é logarítmica:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Escrever $\frac{x^0}{0}$ não faria sentido, por isso esse caso precisa ser tratado separadamente.

Exemplo Resolvido Usando Várias Fórmulas de Integração

Calcule

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx$$

Cada termo corresponde a uma fórmula padrão, então use a linearidade e integre um termo de cada vez:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$ $$\int -4\sin x\,dx = 4\cos x$$ $$\int 5e^x\,dx = 5e^x$$

Some os resultados e inclua a constante de integração:

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5e^x + C$$

Verifique derivando:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5e^x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + 5e^x$$

Esse último passo é a forma mais rápida de identificar um erro de sinal.

Erros Comuns com Fórmulas de Integração

1. Esquecer a constante de integração. Em integrais indefinidas, a resposta deve incluir $+C$.
2. Usar a regra da potência quando $n=-1$. $\int x^{-1}\,dx$ não é um caso da regra da potência; é $\ln|x| + C$.
3. Separar um produto como se integrais se distribuíssem sobre a multiplicação. Em geral, $\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$.
4. Copiar fórmulas de derivadas sem invertê-las com cuidado. Por exemplo, $\int \sin x\,dx$ é $-\cos x + C$, não $\cos x + C$.

Quando Usar uma Fórmula de Integração

Use uma fórmula direta de integração quando o integrando já corresponder a um padrão padrão após uma álgebra simples. Exemplos típicos são polinômios, funções trigonométricas básicas e exponenciais simples.

Se o integrando não corresponder a uma forma conhecida, pare antes de forçar uma fórmula. Produtos costumam pedir integração por partes, e composições costumam pedir substituição.

Tente um Problema Parecido

Tente resolver $\int \left(6x - 2\cos x + \frac{3}{1+x^2}\right)\,dx$ por conta própria. Se cada termo corresponder a uma fórmula padrão e sua resposta final, ao ser derivada, voltar ao integrando original, então você está usando este guia rápido da maneira certa.