Formulario degli integrali

Questo formulario degli integrali raccoglie le regole standard per le primitive che gli studenti incontrano per prime in analisi. Usalo quando l’integranda corrisponde già a una forma nota, come una potenza, $1/x$, un’esponenziale o una funzione trigonometrica di base.

Il compito principale è riconoscere la forma. Se l’espressione è una somma o una differenza, di solito puoi integrare termine per termine. Se invece è un prodotto, un quoziente o una composizione, potrebbe servire un altro metodo.

Principali formule di integrazione

• Regola della potenza:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$

• Caso logaritmico:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

• Regole per le esponenziali:

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C, \qquad a > 0,\ a \ne 1$$

• Regole trigonometriche di base:

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

Una regola collega la maggior parte di questi esempi: la linearità.

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Questo vale per somme e differenze. Non significa che puoi separare un prodotto in integrali distinti.

L’eccezione che molti studenti dimenticano

La regola della potenza non funziona quando $n = -1$. In quel caso, $x^n = x^{-1} = \frac{1}{x}$, e la primitiva è logaritmica:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Scrivere $\frac{x^0}{0}$ non avrebbe significato, ed è per questo che questo caso va trattato separatamente.

Esempio svolto con più formule di integrazione

Calcola

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx$$

Ogni termine corrisponde a una formula standard, quindi usa la linearità e integra un termine alla volta:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$ $$\int -4\sin x\,dx = 4\cos x$$ $$\int 5e^x\,dx = 5e^x$$

Somma i risultati e aggiungi la costante di integrazione:

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5e^x + C$$

Controlla derivando:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5e^x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + 5e^x$$

Quest’ultimo passaggio è il modo più rapido per individuare un errore di segno.

Errori comuni con le formule di integrazione

1. Dimenticare la costante di integrazione. Per gli integrali indefiniti, la risposta deve includere $+C$.
2. Usare la regola della potenza quando $n=-1$. $\int x^{-1}\,dx$ non è un caso della regola della potenza; è $\ln|x| + C$.
3. Separare un prodotto come se gli integrali si distribuissero rispetto alla moltiplicazione. In generale, $\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$.
4. Copiare le formule di derivazione senza invertirle con attenzione. Per esempio, $\int \sin x\,dx$ è $-\cos x + C$, non $\cos x + C$.

Quando usare una formula di integrazione

Usa una formula di integrazione diretta quando l’integranda corrisponde già a una forma standard dopo semplici passaggi algebrici. Esempi tipici sono i polinomi, le funzioni trigonometriche di base e le esponenziali semplici.

Se l’integranda non corrisponde a una forma nota, fermati prima di forzare una formula. I prodotti richiedono spesso l’integrazione per parti, mentre le composizioni richiedono spesso la sostituzione.

Prova un esercizio simile

Prova a calcolare $\int \left(6x - 2\cos x + \frac{3}{1+x^2}\right)\,dx$ da solo. Se ogni termine corrisponde a una formula standard e la tua risposta finale, derivata, restituisce l’integranda iniziale, allora stai usando il formulario nel modo corretto.