积分公式速查表

这份积分公式速查表总结了学生在微积分中最先接触的标准原函数公式。当被积函数已经符合某个已知模式时，比如幂函数、$1/x$、指数函数或基本三角函数，就可以直接使用。

最核心的任务是模式匹配。如果表达式是和或差，通常可以逐项积分。如果它是乘积、商或复合形式，那就可能需要改用其他方法。

常见积分公式

• 幂函数公式：

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$

• 对数情形：

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

• 指数函数公式：

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C, \qquad a > 0,\ a \ne 1$$

• 基本三角函数公式：

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

有一条规则贯穿了上面的大多数例子：线性性质。

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

这条性质适用于和与差。但这并不意味着你可以把乘积拆成几个单独的积分。

大多数学生容易忽略的特殊情况

当 $n = -1$ 时，幂函数公式不成立。此时，$x^n = x^{-1} = \frac{1}{x}$，它的原函数是对数函数：

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

如果写成 $\frac{x^0}{0}$ 就没有意义，这也是为什么这个情形必须单独处理。

综合使用多个积分公式的例题

求

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx$$

每一项都符合标准公式，因此利用线性性质，逐项积分：

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$ $$\int -4\sin x\,dx = 4\cos x$$ $$\int 5e^x\,dx = 5e^x$$

把结果相加，并加上积分常数：

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5e^x + C$$

再通过求导检查：

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5e^x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + 5e^x$$

最后这一步是发现符号错误最快的方法。

积分公式中的常见错误

1. 忘记写积分常数。对于不定积分，答案应包含 $+C$。
2. 在 $n=-1$ 时仍使用幂函数公式。$\int x^{-1}\,dx$ 不是幂函数公式的情形，而是 $\ln|x| + C$。
3. 误以为积分对乘法也满足分配律。一般来说，$\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$。
4. 直接照搬导数公式，却没有认真反向思考。例如，$\int \sin x\,dx$ 是 $-\cos x + C$，不是 $\cos x + C$。

什么时候使用积分公式

当被积函数经过简单代数整理后，已经符合某个标准模式时，就可以直接套用积分公式。典型例子包括多项式、基本三角函数和简单指数函数。

如果被积函数不符合已知形式，就先停下来，不要硬套公式。乘积通常需要分部积分法，复合函数通常需要换元积分法。

试做一道类似题目

请自己尝试计算 $\int \left(6x - 2\cos x + \frac{3}{1+x^2}\right)\,dx$。如果每一项都能对应到标准公式，并且你的最终答案求导后能回到原来的被积函数，就说明你正确使用了这份速查表。