적분 공식 치트시트

이 적분 공식 치트시트는 학생들이 미적분에서 가장 먼저 배우는 표준 부정적분 공식을 정리한 것입니다. 적분하려는 함수가 거듭제곱, $1/x$, 지수함수, 기본 삼각함수처럼 이미 알려진 형태와 맞을 때 사용하세요.

가장 중요한 일은 형태를 알아보는 것입니다. 식이 합이나 차라면 보통 항별로 적분할 수 있습니다. 하지만 곱, 몫, 합성함수 형태라면 대신 다른 방법이 필요할 수 있습니다.

주요 적분 공식

• 거듭제곱 공식:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$

• 로그 형태:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

• 지수함수 공식:

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C, \qquad a > 0,\ a \ne 1$$

• 기본 삼각함수 공식:

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

이 예시들 대부분을 연결하는 한 가지 원리는 선형성입니다.

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

이 성질은 합과 차에 대해 성립합니다. 그렇다고 곱을 각각의 적분으로 나눌 수 있다는 뜻은 아닙니다.

많은 학생이 놓치는 예외

$n = -1$일 때는 거듭제곱 공식을 사용할 수 없습니다. 이 경우 $x^n = x^{-1} = \frac{1}{x}$ 이고, 부정적분은 로그 형태가 됩니다.

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

$\frac{x^0}{0}$처럼 쓰는 것은 의미가 없기 때문에, 이 경우는 따로 다뤄야 합니다.

여러 적분 공식을 사용하는 예제

다음을 구해 봅시다.

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx$$

각 항이 표준 공식과 바로 대응되므로, 선형성을 이용해 한 항씩 적분합니다.

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$ $$\int -4\sin x\,dx = 4\cos x$$ $$\int 5e^x\,dx = 5e^x$$

결과를 더하고 적분상수를 포함하면 다음과 같습니다.

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5e^x + C$$

미분해서 확인해 봅시다.

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5e^x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + 5e^x$$

마지막 확인 단계는 부호 실수를 가장 빠르게 찾아내는 방법입니다.

적분 공식에서 자주 하는 실수

1. 적분상수를 빼먹는 것. 부정적분의 답에는 $+C$가 들어가야 합니다.
2. $n=-1$일 때 거듭제곱 공식을 사용하는 것. $\int x^{-1}\,dx$는 거듭제곱 공식이 아니라 $\ln|x| + C$입니다.
3. 적분이 곱셈에 대해 분배된다고 생각하고 곱을 나누는 것. 일반적으로 $\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$입니다.
4. 도함수 공식을 그대로 옮기면서 역으로 바꾸는 과정을 조심하지 않는 것. 예를 들어 $\int \sin x\,dx$는 $\cos x + C$가 아니라 $-\cos x + C$입니다.

적분 공식을 언제 사용해야 할까

적분하려는 함수가 간단한 대수 정리 후 이미 표준 형태와 맞는다면 직접 적분 공식을 사용하세요. 대표적인 예는 다항식, 기본 삼각함수, 간단한 지수함수입니다.

적분하려는 함수가 알려진 형태와 맞지 않으면, 억지로 공식을 적용하기 전에 멈추는 것이 좋습니다. 곱 형태는 부분적분이 필요한 경우가 많고, 합성함수 형태는 치환적분이 필요한 경우가 많습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

$\int \left(6x - 2\cos x + \frac{3}{1+x^2}\right)\,dx$를 직접 풀어 보세요. 모든 항이 표준 공식과 맞고, 최종 답을 미분했을 때 원래 적분함수가 다시 나오면 이 치트시트를 올바르게 사용한 것입니다.