Liste des formules de calcul différentiel et intégral

Pour ceux qui souhaitent consulter rapidement les formules de calcul différentiel et intégral, voici d'abord un résumé des formes essentielles. La dérivation permet de voir « comment une valeur change à un instant T », tandis que l'intégration permet de voir « comment les valeurs s'accumulent ». Les premières formules à maîtriser sont celles des polynômes, des fonctions trigonométriques, des fonctions exponentielles et des fonctions logarithmiques.

Apprendre ces formules par cœur ne suffit pas toujours, car on peut hésiter sur leur application. L'approche la plus pratique consiste à associer chaque formule à « la forme où elle s'applique » et aux « exceptions possibles ». En particulier, $n = -1$ constitue une exception en intégration, et des règles spécifiques s'appliquent pour les produits, les quotients et les fonctions composées en dérivation.

Aperçu rapide des formules

Si vous êtes pressé, ce résumé est suffisant pour commencer.

Formules de base de la dérivation

$\frac{d}{dx} c = 0$

$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$

$\frac{d}{dx} \left(af(x) + bg(x)\right) = af'(x) + bg'(x)$

Ici, $a$, $b$ et $c$ sont des constantes. Pour un polynôme, on peut dériver chaque terme séparément.

Pour les produits, les quotients et les fonctions composées, on utilise les règles suivantes :

$\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x)\right) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}, \quad g(x) \ne 0$

De plus, lorsque des fonctions sont imbriquées, la règle de la chaîne (chain rule) est nécessaire.

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$

Pour des formes imbriquées comme $(2x+1)^5$ ou $\sin(3x)$, on ne peut pas s'affranchir de la règle de la chaîne.

Formules de base de l'intégration

$\int c \, dx = cx + C$

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1$

$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

En intégration, on oublie souvent d'ajouter la constante $+C$ à la fin. Gardez à l'esprit qu'elle doit systématiquement figurer dans une primitive (intégrale indéfinie).

Formules de dérivation courantes

Voici les formes fondamentales les plus fréquentes :

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad x > 0$

La formule de dérivation de $\ln x$ s'utilise telle quelle dans l'ensemble des réels lorsque $x > 0$. Pour éviter toute confusion, il est conseillé de mémoriser la formule ainsi que son domaine de définition.

Formules d'intégration courantes

Il est plus facile de mémoriser les primitives des fonctions de base en les associant à leurs dérivées respectives.

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

Les erreurs de signe sont fréquentes sur ces trois formules. En cas de doute, dérivez le résultat pour vérifier si vous retrouvez la fonction initiale.

Exemple d'application

Considérons la fonction suivante :

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$

S'agissant d'un polynôme, nous pouvons traiter la dérivation et l'intégration terme par terme.

D'abord, la dérivée :

$f'(x) = 6x^2 - 6x + 4$

C'est plus facile à suivre si l'on considère que pour chaque terme, on « descend l'exposant d'un cran et on le multiplie devant ».

Ensuite, la primitive de la même expression :

$\int \left(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1\right)\,dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - x + C$

L'objectif de cet exemple est de montrer que l'exposant diminue d'une unité avec la dérivation et augmente d'une unité avec l'intégration. Cependant, comme l'intégration ajoute une constante $+C$, ce n'est pas une opération inverse parfaitement symétrique, mais plutôt une « opération inverse avec une marge de constante ».

Erreurs courantes en calcul différentiel et intégral

1. Insérer directement $n = -1$ dans $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Notez que $1/x$ est $\ln|x| + C$.
2. Pour les fonctions composées comme $(2x+1)^5$, dériver uniquement la partie extérieure et oublier de multiplier par la dérivée de la fonction intérieure. C'est l'erreur classique liée à la règle de la chaîne.
3. Oublier la constante $+C$ lors d'une intégration. Elle est indispensable pour une primitive.
4. Inverser les signes de $\int \sin x \, dx$ et $\int \cos x \, dx$. En cas de doute, vérifiez en dérivant.
5. Dériver chaque terme séparément alors qu'une règle de produit ou de quotient est nécessaire. Les produits et quotients suivent des règles différentes de celles des sommes.

Quand utiliser ces formules ?

Les formules de dérivation sont utilisées pour calculer la pente d'une tangente, la vitesse, l'accélération, ou pour trouver les maximums et minimums d'une fonction. Les formules d'intégration sont employées pour calculer des aires, des distances parcourues ou l'accumulation d'une quantité.

En résumé, ces formules ne sont pas de simples tableaux de calcul. Ce sont des outils pour naviguer entre « comment cela change maintenant » et « combien s'est accumulé ». Avec cette perspective, le choix de la formule devient beaucoup plus intuitif.

À vous de jouer

Essayez de dériver $f(x) = 3x^4 - 2x + 7$ par vous-même, puis calculez la primitive de cette même expression. Une fois que vous êtes à l'aise avec les polynômes, essayez de dériver $(3x+1)^4$ pour vous exercer à l'application de la règle de la chaîne.

Pour aller plus loin, testez d'autres expressions incluant des fonctions trigonométriques ou composées et essayez de déterminer seul quelle formule est nécessaire.