BODMAS / PEMDAS — Ordre des opérations expliqué

BODMAS, aussi appelé PEMDAS, indique l’ordre à suivre lorsqu’une expression mélange plusieurs opérations. On commence par les crochets ou parenthèses, puis les puissances, ensuite les multiplications et divisions de gauche à droite, et enfin les additions et soustractions de gauche à droite.

L’erreur la plus fréquente consiste à penser que la multiplication passe toujours avant la division, ou que l’addition passe toujours avant la soustraction. Ce n’est pas la règle. Chaque paire a la même priorité, donc on avance de gauche à droite.

Que signifient BODMAS et PEMDAS

Les lettres représentent la même structure, avec un vocabulaire légèrement différent :

1. $B$ ou $P$ : Brackets ou Parentheses
2. $O$ ou $E$ : Orders ou Exponents
3. $D$ et $M$ : Division et Multiplication
4. $A$ et $S$ : Addition et Subtraction

Ce ne sont pas deux systèmes différents. Ce sont deux moyens mnémotechniques pour le même ordre des opérations.

Comment fonctionne l’ordre des opérations

Commencez par simplifier tout ce qui est regroupé. S’il y a une puissance, traitez-la ensuite. Après cela, effectuez les multiplications et divisions dans l’ordre où elles apparaissent, de gauche à droite. Terminez ensuite par les additions et soustractions, là encore de gauche à droite.

Si des parenthèses sont imbriquées, commencez par la plus intérieure. Une barre de fraction regroupe aussi des termes, donc tout le numérateur et tout le dénominateur restent ensemble jusqu’à leur simplification.

Exemple corrigé avec BODMAS

Évaluez

$$30 - 18 / 3 \times (2 + 1) + 2^3$$

Commencez par simplifier les parenthèses :

$$30 - 18 / 3 \times 3 + 2^3$$

Évaluez maintenant la puissance :

$$30 - 18 / 3 \times 3 + 8$$

Effectuez ensuite la division et la multiplication de gauche à droite. Ici, la division vient d’abord parce qu’elle apparaît en premier :

$$30 - 6 \times 3 + 8$$

Puis multipliez :

$$30 - 18 + 8$$

Terminez maintenant l’addition et la soustraction de gauche à droite :

$$12 + 8 = 20$$

La valeur de l’expression est donc $20$.

Erreurs fréquentes avec BODMAS

Penser que la division passe avant la multiplication

Dans $20 / 5 \times 2$, on divise d’abord parce que cette opération apparaît en premier en partant de la gauche. Le résultat est

$$4 \times 2 = 8$$

et non $20 / 10 = 2$.

Penser que l’addition passe avant la soustraction

Dans $10 - 3 + 1$, on calcule de gauche à droite :

$$10 - 3 = 7,\quad 7 + 1 = 8$$

Sauter l’étape de réécriture

La plupart des erreurs d’ordre des opérations ne sont pas de profondes erreurs de calcul. Ce sont des erreurs de structure. Réécrire l’expression après chaque étape aide beaucoup à garder les signes, les puissances et les groupes de termes à la bonne place.

Quand utilise-t-on l’ordre des opérations

Cette règle est importante dès qu’une expression mélange plusieurs opérations. Cela inclut les calculs scolaires, l’algèbre, les formules de tableur, la saisie sur calculatrice et de nombreuses formules scientifiques.

La condition est simple : s’il n’y a qu’un seul type d’opération, la règle intervient peu. Elle devient importante lorsque différents types d’opérations apparaissent ensemble et qu’il faut une interprétation cohérente.

Essayez un problème similaire

Essayez de résoudre

$$24 / 4 \times (3 + 2) - 3^2$$

Écrivez chaque étape sur une nouvelle ligne et vérifiez si vous avez bien respecté la règle de gauche à droite au moment des multiplications ou divisions. Une bonne auto-vérification consiste à comparer vos lignes intermédiaires, pas seulement votre réponse finale.