BODMAS / PEMDAS — 演算の順序をわかりやすく解説

BODMAS（PEMDASとも呼ばれます）は、式の中に複数の演算が混ざっているときに、どの順番で計算するかを示すルールです。まず括弧内を計算し、次に累乗、その後に掛け算と割り算を左から右へ、最後に足し算と引き算を左から右へ進めます。

よくある間違いは、「掛け算は必ず割り算より先」「足し算は必ず引き算より先」と考えてしまうことです。実際にはそうではありません。それぞれの組は同じ優先順位なので、左から右へ処理します。

BODMAS と PEMDAS の意味

これらの文字は、少し語彙が違うだけで同じ構造を表しています。

1. $B$ または $P$: Brackets または Parentheses（括弧）
2. $O$ または $E$: Orders または Exponents（累乗）
3. $D$ と $M$: Division と Multiplication（割り算と掛け算）
4. $A$ と $S$: Addition と Subtraction（足し算と引き算）

これは別々のルールではありません。同じ演算の順序を覚えるための、2つの語呂合わせです。

演算の順序のしくみ

まず、ひとまとまりになっている部分を簡単にします。累乗があれば、その次に計算します。その後、掛け算と割り算を左から現れる順に処理します。最後に、足し算と引き算をやはり左から計算します。

括弧が入れ子になっている場合は、いちばん内側から始めます。分数線も項をひとまとまりにするので、分子と分母はそれぞれ簡単にするまでまとめて扱います。

BODMAS の計算例

次を計算します。

$$30 - 18 / 3 \times (2 + 1) + 2^3$$

まず括弧を計算します。

$$30 - 18 / 3 \times 3 + 2^3$$

次に累乗を計算します。

$$30 - 18 / 3 \times 3 + 8$$

続いて、割り算と掛け算を左から右へ行います。この式では、左に先に現れるので割り算が先です。

$$30 - 6 \times 3 + 8$$

次に掛け算をします。

$$30 - 18 + 8$$

最後に、足し算と引き算を左から右へ計算します。

$$12 + 8 = 20$$

したがって、この式の値は $20$ です。

よくある BODMAS の間違い

割り算が掛け算より先だと思ってしまう

$20 / 5 \times 2$ では、左から見て先に現れる演算が割り算なので、まず割ります。結果は

$$4 \times 2 = 8$$

であり、$20 / 10 = 2$ ではありません。

足し算が引き算より先だと思ってしまう

$10 - 3 + 1$ では、左から右へ計算します。

$$10 - 3 = 7,\quad 7 + 1 = 8$$

書き直しの段階を省いてしまう

演算の順序のミスの多くは、難しい数学のミスではありません。式の構造のミスです。各段階のあとに式を書き直すと、符号、累乗、まとまりのある項を正しい位置に保ちやすくなります。

演算の順序が使われる場面

このルールは、1つの式の中に複数の演算が混ざっているときに重要です。学校の算数や数学、代数、表計算ソフトの数式、電卓入力、多くの科学の公式などがこれに含まれます。

条件は単純です。演算の種類が1つしかないなら、このルールはあまり重要ではありません。異なる種類の演算が一緒に現れ、1つの一貫した解釈が必要なときに重要になります。

似た問題に挑戦

次を解いてみましょう。

$$24 / 4 \times (3 + 2) - 3^2$$

各段階を新しい行に書き、掛け算・割り算の段階で左から右のルールを守れているか確認してください。よい自己チェックの方法は、最終答えだけでなく途中の式どうしを比べることです。