Fonction de transfert

Une fonction de transfert est la relation, dans le domaine de Laplace, qui relie l’entrée d’un système linéaire invariant dans le temps à sa sortie. Avec des conditions initiales nulles, elle est définie par

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$

où $X(s)$ est l’entrée transformée et $Y(s)$ est la sortie transformée. En termes simples, elle indique avec quelle intensité le système réagit à différentes entrées, sans devoir résoudre l’équation différentielle complète à chaque fois.

Ce n’est pas simplement « sortie divisée par entrée » dans n’importe quelle situation. Cette définition ne fonctionne que sous certaines conditions, et ces conditions sont importantes.

Ce Que Vous Dit Une Fonction De Transfert

La fonction de transfert résume le comportement d’un système en une seule expression. Une fois que vous connaissez $H(s)$, vous pouvez souvent voir si le système amplifie, atténue, retarde ou filtre certaines parties de l’entrée.

Pour les questions en régime sinusoïdal permanent, on l’évalue sur l’axe imaginaire sous la forme $H(i\omega)$. Cela donne deux informations pratiques :

• le module, qui indique dans quelle mesure une entrée sinusoïdale de pulsation $\omega$ est amplifiée ou atténuée
• la phase, qui indique de combien la sortie est décalée par rapport à l’entrée

C’est pour cela que les fonctions de transfert apparaissent en électronique, en vibrations, en filtrage et en automatique.

Quand $H(s) = Y(s)/X(s)$ Est Valide

La formule usuelle suppose que le système est linéaire et invariant dans le temps. Si la linéarité n’est pas vérifiée, les entrées ne se combinent plus selon le principe habituel de superposition. Si l’invariance dans le temps n’est pas vérifiée, le système peut se comporter différemment selon l’instant, donc une fonction de transfert fixe ne suffit plus.

Les conditions initiales nulles sont également importantes. L’énergie stockée dans un condensateur, une inductance ou un oscillateur mécanique modifie la sortie réelle, mais cette contribution supplémentaire ne fait pas partie de la fonction de transfert elle-même. La fonction de transfert décrit la loi entrée-sortie propre au système dans le cadre standard de conditions initiales nulles.

Exemple Résolu : Filtre RC Passe-Bas

Prenez une résistance $R$ en série avec un condensateur $C$, et mesurez la sortie aux bornes du condensateur. Dans le domaine de Laplace, l’impédance du condensateur vaut $1/(sC)$, donc la règle du diviseur de tension donne

$$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}} = \frac{1}{1 + sRC}$$

C’est une fonction de transfert passe-bas. Les basses fréquences passent plus facilement que les hautes fréquences, ce qui explique pourquoi la sortie ressemble à une version lissée de l’entrée.

Choisissons un cas concret :

$$R = 1000\ \Omega, \qquad C = 1\ \mu\mathrm{F}$$

Alors

$$RC = 10^{-3}\ \mathrm{s}$$

la fonction de transfert devient donc

$$H(s) = \frac{1}{1 + 0.001s}$$

La pulsation de coupure vaut

$$\omega_c = \frac{1}{RC} = 1000\ \mathrm{rad/s}$$

ce qui correspond à

$$f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \approx 159\ \mathrm{Hz}$$

À la coupure,

$$\left|H(i\omega_c)\right| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$

L’amplitude de sortie vaut donc environ $70.7\%$ de l’amplitude d’entrée à cette fréquence. Ce seul nombre donne déjà une information utile : le circuit commence à atténuer de façon sensible les signaux autour de $159\ \mathrm{Hz}$ et au-delà.

Pour vérifier rapidement l’intuition, si $\omega \ll 1000\ \mathrm{rad/s}$, alors $|H(i\omega)|$ est proche de $1$, donc la sortie a presque la même amplitude que l’entrée. Si $\omega \gg 1000\ \mathrm{rad/s}$, le module devient faible, donc les oscillations rapides sont fortement atténuées.

Erreurs Courantes Sur Les Fonctions De Transfert

• Utiliser ce terme pour des systèmes qui ne sont pas modélisés comme linéaires et invariants dans le temps.
• Oublier de définir clairement quelle variable est l’entrée et laquelle est la sortie.
• Considérer la fonction de transfert comme si elle incluait déjà des conditions initiales arbitraires.
• Confondre la fonction de transfert générale dans le domaine de Laplace $H(s)$ avec la réponse fréquentielle $H(i\omega)$.
• Ne lire que le module et ignorer le déphasage alors que la phase a une importance physique.

Où Les Fonctions De Transfert Sont Utilisées

Les fonctions de transfert sont utiles chaque fois qu’un système peut être modélisé par des équations différentielles linéaires et que l’on s’intéresse à la façon dont les entrées se propagent vers les sorties. Parmi les exemples courants, on trouve les circuits RC et RLC, les oscillateurs mécaniques amortis, les systèmes à rétroaction et les modèles simples de capteurs.

En physique, elles sont particulièrement utiles lorsque la question principale n’est pas l’évolution temporelle complète, mais la manière dont le système répond à une excitation, à un filtrage ou à une oscillation selon la fréquence.

Essayez Une Fonction De Transfert Similaire

Essayez le même circuit RC, mais mesurez la sortie aux bornes de la résistance plutôt que du condensateur. Vous obtiendrez une fonction de transfert passe-haut, et cette comparaison fait retenir une idée essentielle : changer la sortie change la fonction de transfert.