Ternas pitagóricas — ternas comunes y cómo encontrarlas

Una terna pitagórica es un conjunto de tres enteros positivos $(a,b,c)$ que satisfacen $a^2 + b^2 = c^2$. En palabras simples, los tres números son longitudes enteras de los lados de un triángulo rectángulo, y $c$ es la hipotenusa. El ejemplo clásico es $(3,4,5)$ porque $3^2 + 4^2 = 5^2$.

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Usa esta idea solo cuando los tres valores sean enteros positivos. Muchos triángulos rectángulos satisfacen el teorema de Pitágoras, pero solo algunos tienen longitudes enteras en sus lados.

Ternas pitagóricas comunes que conviene conocer

Aparecen con suficiente frecuencia como para reconocerlas de inmediato:

• $(3,4,5)$
• $(5,12,13)$
• $(8,15,17)$
• $(7,24,25)$

Sus múltiplos también funcionan. Por ejemplo, al duplicar $(3,4,5)$ se obtiene $(6,8,10)$, y

$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$$

Por eso muchas ternas no primitivas son solo copias escaladas de otras más pequeñas.

Qué hace que una terna sea primitiva

Una terna pitagórica primitiva no tiene ningún factor común mayor que $1$. Por ejemplo, $(3,4,5)$ es primitiva, pero $(6,8,10)$ no lo es porque los tres números son divisibles por $2$.

Esto importa porque toda terna no primitiva proviene de escalar una terna primitiva. Si entiendes las ternas primitivas, también entiendes la familia más grande.

Cómo encontrar ternas pitagóricas

Hay dos formas prácticas de obtener nuevas.

Escala una terna que ya conoces

Si $(a,b,c)$ es una terna pitagórica y $k$ es un entero positivo, entonces $(ka,kb,kc)$ también es una terna pitagórica porque

$$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2+b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$$

Esta es la forma más rápida de construir ejemplos como $(9,12,15)$ o $(10,24,26)$.

Usa la fórmula de Euclides

Si $m$ y $n$ son enteros con $m > n > 0$, entonces

$$a = m^2 - n^2,\quad b = 2mn,\quad c = m^2 + n^2$$

da una terna pitagórica.

Si quieres una terna primitiva, es decir, que los tres números no tengan ningún factor común mayor que $1$, también necesitas que $m$ y $n$ sean coprimos y que no sean ambos impares.

Ejemplo resuelto: generar una terna

Toma $m = 4$ y $n = 1$. Como $m > n > 0$, se puede aplicar la fórmula de Euclides.

Entonces

$$a = 4^2 - 1^2 = 15,\quad b = 2(4)(1) = 8,\quad c = 4^2 + 1^2 = 17$$

Así, $(8,15,17)$ es una terna pitagórica.

Puedes comprobarlo directamente:

$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$$

Ahora escálala por $2$ y obtienes $(16,30,34)$. La forma del triángulo rectángulo se mantiene, pero las longitudes de los lados se duplican.

Este ejemplo muestra las dos ideas principales al mismo tiempo: la fórmula de Euclides crea una terna, y el escalado crea más.

Errores comunes con las ternas pitagóricas

Olvidar la condición de números enteros

La ecuación $a^2+b^2=c^2$ tiene muchas soluciones en números reales, pero una terna pitagórica requiere que los tres valores sean enteros positivos.

Llamar primitiva a toda terna válida

$(6,8,10)$ es una terna válida, pero no es primitiva porque los tres números comparten un factor común de $2$.

Confundir "terna" con "terna primitiva"

Una terna solo necesita satisfacer $a^2+b^2=c^2$ con enteros positivos. Las condiciones adicionales sobre $m$ y $n$ importan solo si quieres que la terna sea primitiva.

Poner el número más grande en el lugar equivocado

En una terna $(a,b,c)$, $c$ es la hipotenusa, así que debe ser el número más grande.

Cuándo son útiles las ternas pitagóricas

Aparecen en la geometría de triángulos rectángulos, la geometría analítica y la teoría de números introductoria. También son útiles cuando quieres comprobar rápidamente si tres números enteros pueden formar un triángulo rectángulo.

En matemáticas basadas en demostraciones, son un ejemplo estándar de ecuación diofántica: una ecuación en la que se buscan soluciones enteras en lugar de todas las soluciones reales.

Prueba un problema similar

Usa $m = 5$ y $n = 2$ en la fórmula de Euclides, y luego verifica el resultado en $a^2 + b^2 = c^2$. Si quieres dar un paso más, explora el teorema de Pitágoras para ver cómo se usa la misma relación para hallar longitudes de lados faltantes.