Cómo dividir fracciones — método de invertir y multiplicar

Para dividir fracciones, conserva la primera fracción, invierte el divisor y multiplica. Este atajo funciona siempre que el divisor no sea cero.

Por ejemplo,

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{3}{2}$$

Aquí la respuesta es mayor porque dividir entre $\frac{1}{2}$ pregunta cuántas mitades caben en $\frac{3}{4}$.

En general,

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

siempre que $b \ne 0$, $d \ne 0$ y $\frac{c}{d} \ne 0$.

Cómo dividir fracciones

La fracción invertida es el recíproco. El recíproco de $\frac{2}{3}$ es $\frac{3}{2}$ porque el numerador y el denominador intercambian sus posiciones.

Usa este proceso:

1. Conserva la primera fracción sin cambios.
2. Invierte la segunda fracción, que es el divisor.
3. Multiplica en línea recta.
4. Simplifica el resultado.

Por qué funciona invertir y multiplicar

Dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su inverso multiplicativo. Para una fracción no nula $\frac{c}{d}$, ese inverso es $\frac{d}{c}$ porque

$$\frac{c}{d} \times \frac{d}{c} = 1$$

Así que dividir entre $\frac{c}{d}$ da el mismo resultado que multiplicar por $\frac{d}{c}$. Esa es la razón por la que la regla funciona, no solo un truco para memorizar.

Ejemplo resuelto: $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$

Empieza con

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$$

Conserva la primera fracción e invierte el divisor:

$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1}$$

Multiplica:

$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4}$$

Simplifica:

$$\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$$

Entonces

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

Esto también tiene sentido en palabras: "¿Cuántas mitades caben en tres cuartos?" La respuesta es $1\frac{1}{2}$ mitades.

Por qué dividir entre una fracción puede hacer que la respuesta sea mayor

Los estudiantes suelen esperar que dividir haga los números más pequeños. Eso es cierto cuando divides entre un número positivo mayor que $1$, pero no cuando divides entre una fracción positiva menor que $1$.

Si divides entre $\frac{1}{2}$, estás contando mitades. Como las mitades son partes más pequeñas que las unidades enteras, a menudo puedes colocar más de una dentro de la cantidad original. Por eso $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$ es mayor que $\frac{3}{4}$.

Errores comunes al dividir fracciones

Invertir la fracción equivocada

Solo inviertes la segunda fracción, el divisor. La primera fracción se queda igual.

Olvidar la condición del cero

No puedes dividir entre $0$, así que el divisor no puede ser la fracción cero. Por ejemplo, $\frac{5}{6} \div 0$ no está definido.

Dividir arriba entre arriba y abajo entre abajo

Esa no es la regla para dividir fracciones. Después de invertir el divisor, multiplicas en línea recta.

Olvidar reescribir los números enteros como fracciones

Si aparece un número entero, escríbelo sobre $1$. Por ejemplo, $2 \div \frac{2}{3}$ significa $\frac{2}{1} \div \frac{2}{3}$.

Pasar por alto una simplificación fácil

Puedes multiplicar primero y simplificar al final, pero a veces es más fácil cancelar factores comunes antes de multiplicar. Cualquiera de los dos métodos está bien si el álgebra es válida.

Cuándo se usa la división de fracciones

La división de fracciones aparece en mediciones, recetas, tasas unitarias y problemas de escala. Si conoces el tamaño de una parte y quieres saber cuántas partes de ese tipo caben en una cantidad total, la división de fracciones suele ser el modelo adecuado.

Por ejemplo, si una receta usa $\frac{2}{3}$ de taza de leche por tanda y tienes $2$ tazas de leche, la pregunta "¿Cuántas tandas puedo hacer?" se convierte en

$$2 \div \frac{2}{3}$$

Eso es división de fracciones aunque uno de los números sea un número entero.

Una comprobación rápida antes de seguir

Después de resolver, pregúntate si el tamaño de la respuesta es razonable.

• Si divides entre una fracción positiva menor que $1$, el resultado debe ser mayor.
• Si divides entre un número positivo mayor que $1$, el resultado debe ser menor.

Esto no sustituye el cálculo, pero es una buena manera de detectar una fracción invertida o un error de signo.

Prueba un problema parecido

Prueba $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$ y decide si la respuesta debe ser menor o mayor que $\frac{5}{6}$ antes de calcular. Si quieres otro caso para comprobar tus pasos, resuelve un problema parecido con GPAI Solver.