Θεώρημα του Norton

Το θεώρημα του Norton λέει ότι κάθε γραμμικό δίκτυο δύο ακροδεκτών μπορεί να αντικατασταθεί, στους ακροδέκτες εξόδου του, από μια ισοδύναμη πηγή ρεύματος παράλληλα με μια ισοδύναμη αντίσταση. Για έναν μαθητή ή φοιτητή που λύνει ασκήσεις κυκλωμάτων, αυτό σημαίνει ότι μπορείς να αντικαταστήσεις ένα πολύπλοκο δίκτυο με ένα απλούστερο χωρίς να αλλάξει η τάση ή το ρεύμα που «βλέπει» το φορτίο.

Αν το δίκτυο είναι γραμμικό και κρατήσεις τους ίδιους δύο ακροδέκτες, η αντικατάσταση δίνει την ίδια συμπεριφορά στους ακροδέκτες για οποιοδήποτε φορτίο συνδεθεί εκεί. Η μορφή Norton είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν θέλεις το ρεύμα του φορτίου.

Το Θεώρημα του Norton σε Μία Πρόταση

Για ένα γραμμικό δίκτυο δύο ακροδεκτών, το εξωτερικό κύκλωμα μπορεί να αντικατασταθεί από

$$\text{Norton equivalent} = I_N \text{ in parallel with } R_N$$

Εδώ, το $I_N$ είναι το ρεύμα βραχυκύκλωσης στους ακροδέκτες εξόδου και το $R_N$ είναι η ισοδύναμη αντίσταση που φαίνεται όταν κοιτάμε προς τα πίσω μέσα στο δίκτυο.

Αν γνωρίζεις ήδη το ισοδύναμο Thevenin του ίδιου γραμμικού δικτύου, τότε

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}}, \qquad R_N = R_{TH}$$

Αυτή η συντόμευση ισχύει μόνο όταν και τα δύο ισοδύναμα περιγράφουν το ίδιο γραμμικό κύκλωμα δύο ακροδεκτών.

Τι Διατηρεί το Ισοδύναμο Κύκλωμα

Το εσωτερικό του κυκλώματος δεν παραμένει ίδιο. Αυτό που παραμένει ίδιο είναι η σχέση τάσης-ρεύματος που μετριέται στους δύο ακροδέκτες.

Αυτή η διάκριση έχει σημασία, γιατί δύο πολύ διαφορετικά κυκλώματα μπορεί παρ' όλα αυτά να είναι ισοδύναμα από την πλευρά του φορτίου. Αν παράγουν την ίδια τάση και το ίδιο ρεύμα στους ακροδέκτες για κάθε φορτίο που συνδέεται εκεί, τότε είναι ισοδύναμα σε αυτούς τους ακροδέκτες.

Πώς να Βρεις ένα Ισοδύναμο Norton

Ακολούθησε αυτή τη σειρά:

1. Αφαίρεσε το φορτίο και σημείωσε τους δύο ακροδέκτες.
2. Βρες το $I_N$ βραχυκυκλώνοντας αυτούς τους ακροδέκτες και υπολογίζοντας το ρεύμα που προκύπτει.
3. Βρες το $R_N$ κοιτάζοντας προς τα πίσω μέσα στο δίκτυο, με τις ανεξάρτητες πηγές τάσης να αντικαθίστανται από βραχυκυκλώματα και τις ανεξάρτητες πηγές ρεύματος από ανοικτά κυκλώματα.
4. Αν το κύκλωμα περιέχει εξαρτώμενες πηγές, μην απενεργοποιήσεις απλώς τα πάντα. Χρησιμοποίησε μια δοκιμαστική πηγή για να βρεις την ενεργό αντίσταση.
5. Σχεδίασε το ισοδύναμο Norton και σύνδεσε ξανά το φορτίο.

Λυμένο Παράδειγμα με Αριθμούς

Υπόθεσε ότι το αρχικό δίκτυο είναι ήδη γνωστό σε μορφή Thevenin: μια ιδανική πηγή $12 \, \text{V}$ σε σειρά με μια αντίσταση $6 \, \Omega$. Βρες το ισοδύναμο Norton και μετά σύνδεσε ένα φορτίο $3 \, \Omega$.

Ξεκίνα με το ρεύμα της πηγής:

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}} = \frac{12}{6} = 2 \, \text{A}$$

Άρα το κύκλωμα Norton είναι μια πηγή ρεύματος $2 \, \text{A}$ παράλληλα με

$$R_N = 6 \, \Omega$$

Τώρα σύνδεσε το φορτίο $R_L = 3 \, \Omega$. Η πηγή, ο κλάδος των $6 \, \Omega$ και το φορτίο των $3 \, \Omega$ είναι όλα παράλληλα, οπότε πρώτα συνδύασε τις δύο αντιστάσεις:

$$R_{eq} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = 2 \, \Omega$$

Η τάση στα δύο κλαδιά είναι τότε

$$V = I_N R_{eq} = (2)(2) = 4 \, \text{V}$$

Αφού το φορτίο έχει την ίδια τάση $4 \, \text{V}$ στα άκρα του, το ρεύμα του φορτίου είναι

$$I_L = \frac{V}{R_L} = \frac{4}{3} \, \text{A}$$

Αυτό ταιριάζει με τη συμπεριφορά του φορτίου στο αρχικό κύκλωμα. Αυτός είναι ακριβώς ο σκοπός του θεωρήματος του Norton: διαφορετική εσωτερική μορφή, ίδια συμπεριφορά στους ακροδέκτες.

Συνηθισμένα Λάθη των Μαθητών

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να βρίσκουν το $R_N$ από το ενεργό κύκλωμα χωρίς να διευκρινίζουν τι συμβαίνει με τις ανεξάρτητες πηγές. Σε αυτό το βήμα, οι ανεξάρτητες πηγές τάσης γίνονται βραχυκυκλώματα και οι ανεξάρτητες πηγές ρεύματος γίνονται ανοικτά κυκλώματα.

Ένα άλλο λάθος είναι να θεωρούν ότι η μορφή Norton λειτουργεί για οποιοδήποτε κύκλωμα. Το κλασικό θεώρημα εφαρμόζεται σε γραμμικά δίκτυα δύο ακροδεκτών. Αν το κύκλωμα είναι μη γραμμικό, το ίδιο απλό ισοδύναμο μπορεί να μην ισχύει σε κάθε κατάσταση λειτουργίας.

Ένα τρίτο λάθος είναι να μπερδεύουν το ρεύμα της πηγής με το ρεύμα του φορτίου. Σε ένα κύκλωμα Norton, η πηγή ρεύματος τροφοδοτεί όλο το παράλληλο δίκτυο και το ρεύμα του φορτίου είναι μόνο το ρεύμα ενός κλάδου.

Πότε Είναι Χρήσιμο το Θεώρημα του Norton

Το θεώρημα του Norton είναι χρήσιμο όταν το φορτίο αλλάζει και θέλεις να επανυπολογίσεις γρήγορα το ρεύμα ενός κλάδου. Βοηθά επίσης όταν απλοποιείς ένα μέρος ενός μεγαλύτερου κυκλώματος ή όταν η διαίρεση ρεύματος είναι πιο φυσική από τη διαίρεση τάσης.

Είναι επίσης το φυσικό συμπλήρωμα του θεωρήματος του Thevenin. Οι δύο μορφές περιέχουν την ίδια πληροφορία στους ακροδέκτες, αλλά μία από τις δύο μπορεί να κάνει έναν συγκεκριμένο υπολογισμό συντομότερο.

Δοκίμασε ένα Παρόμοιο Πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με μια πηγή Norton $5 \, \text{A}$ παράλληλα με $10 \, \Omega$ και μετά σύνδεσε ένα φορτίο $15 \, \Omega$. Βρες πρώτα την τάση στους ακροδέκτες και μετά το ρεύμα του φορτίου. Έπειτα, μετέτρεψε το ίδιο κύκλωμα σε μορφή Thevenin και έλεγξε ότι το αποτέλεσμα για το φορτίο παραμένει το ίδιο.