诺顿定理

诺顿定理指出，任何线性双端网络都可以在其输出端子处，用一个与等效电阻并联的等效电流源来替代。对正在解电路题的学生来说，这意味着你可以把复杂网络换成更简单的形式，同时不改变负载所看到的电压或电流。

只要网络是线性的，并且保持同一对端子不变，那么对于接在该处的任意负载，这种替代都会给出相同的端口特性。诺顿形式在你想要求负载电流时尤其方便。

用一句话概括诺顿定理

对于一个线性双端网络，外部电路可以替换为

$$\text{Norton equivalent} = I_N \text{ in parallel with } R_N$$

其中，$I_N$ 是输出端子的短路电流，$R_N$ 是从端口向网络内部看进去所见的等效电阻。

如果你已经知道同一个线性网络的戴维宁等效，那么

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}}, \qquad R_N = R_{TH}$$

这个快捷关系只在两种等效形式描述的是同一个线性双端电路时才成立。

等效电路保留了什么

电路内部并不会保持不变。真正保持不变的是在这两个端子处测得的电压—电流关系。

这一点很重要，因为两个内部结构完全不同的电路，从负载的角度看仍然可能是等效的。只要对于接在这两个端子上的任意负载，它们都产生相同的端电压和端电流，那么它们在该端口处就是等效的。

如何求诺顿等效电路

按下面的顺序进行：

1. 移除负载，并标出两个端子。
2. 将这两个端子短接，计算短路电流，得到 $I_N$。
3. 将独立电压源用短路代替、独立电流源用开路代替，然后从端口向网络内部看，求出 $R_N$。
4. 如果电路中含有受控源，不要简单地把所有源都关掉。应使用测试源来求等效电阻。
5. 画出诺顿等效电路，并重新接回负载。

带数值的例题

假设原网络已经用戴维宁形式给出：一个理想 $12 \, \text{V}$ 电源与一个 $6 \, \Omega$ 电阻串联。求它的诺顿等效电路，然后接上一个 $3 \, \Omega$ 负载。

先求源电流：

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}} = \frac{12}{6} = 2 \, \text{A}$$

因此，诺顿电路是一个 $2 \, \text{A}$ 电流源，与下列电阻并联：

$$R_N = 6 \, \Omega$$

现在接上负载 $R_L = 3 \, \Omega$。电流源、$6 \, \Omega$ 支路和 $3 \, \Omega$ 负载三者并联，所以先把两个电阻合并：

$$R_{eq} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = 2 \, \Omega$$

于是两条支路上的电压为

$$V = I_N R_{eq} = (2)(2) = 4 \, \text{V}$$

由于负载两端也是同样的 $4 \, \text{V}$，所以负载电流为

$$I_L = \frac{V}{R_L} = \frac{4}{3} \, \text{A}$$

这与原电路的负载表现一致。这正是诺顿定理的核心：内部形式可以不同，但端口处的表现相同。

学生常犯的错误

一个常见错误是在原电路仍然带电的情况下直接求 $R_N$，却没有说明独立源如何处理。在这一步中，独立电压源应变为短路，独立电流源应变为开路。

另一个错误是认为诺顿形式适用于任何电路。标准的诺顿定理适用于线性双端网络。如果电路是非线性的，那么这种简单等效不一定在所有工作条件下都成立。

第三个错误是把源电流和负载电流混淆。在诺顿电路中，电流源给整个并联网络供电，而负载电流只是其中一个支路电流。

什么时候诺顿定理有用

当负载发生变化，而你又想快速重新计算支路电流时，诺顿定理非常有用。它也适用于简化较大电路中的某一部分，或者在电流分配比电压分配更自然时使用。

它也是戴维宁定理的天然对应形式。两种形式包含相同的端口信息，但在具体计算中，其中一种形式可能更简洁。

试着做一道类似的题

你可以自己试一题：给定一个 $5 \, \text{A}$ 的诺顿电流源，与 $10 \, \Omega$ 电阻并联，然后接上一个 $15 \, \Omega$ 负载。先求端电压，再求负载电流。之后，把同一个电路转换成戴维宁形式，并检查负载结果是否保持不变。