ทฤษฎีบทของนอร์ตัน

ทฤษฎีบทของนอร์ตันกล่าวว่า โครงข่ายเชิงเส้นแบบสองขั้วใด ๆ สามารถแทนที่ที่ขั้วเอาต์พุตได้ด้วยแหล่งกระแสสมมูลที่ขนานกับความต้านทานสมมูล สำหรับนักเรียนที่กำลังแก้โจทย์วงจร นั่นหมายความว่าคุณสามารถแทนโครงข่ายที่ซับซ้อนด้วยวงจรที่ง่ายกว่าได้ โดยที่แรงดันหรือกระแสที่โหลดเห็นยังคงเดิม

ถ้าโครงข่ายเป็นเชิงเส้นและคุณใช้ขั้วต่อสองจุดเดิม วงจรที่แทนที่นี้จะให้พฤติกรรมที่ขั้วเหมือนเดิมสำหรับโหลดใด ๆ ที่ต่อเข้ามา รูปแบบนอร์ตันมีประโยชน์มากเป็นพิเศษเมื่อคุณต้องการหากระแสโหลด

ทฤษฎีบทของนอร์ตันในประโยคเดียว

สำหรับโครงข่ายเชิงเส้นแบบสองขั้ว วงจรภายนอกสามารถแทนได้ด้วย

$$\text{Norton equivalent} = I_N \text{ in parallel with } R_N$$

โดยที่ $I_N$ คือกระแสลัดวงจรที่ขั้วเอาต์พุต และ $R_N$ คือความต้านทานสมมูลที่มองย้อนกลับเข้าไปในโครงข่าย

ถ้าคุณทราบวงจรสมมูลแบบเทวีนินของโครงข่ายเชิงเส้นเดียวกันอยู่แล้ว จะได้ว่า

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}}, \qquad R_N = R_{TH}$$

ทางลัดนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อวงจรสมมูลทั้งสองแบบอธิบายวงจรเชิงเส้นแบบสองขั้วเดียวกัน

วงจรสมมูลคงอะไรไว้

ส่วนภายในของวงจรไม่ได้คงเดิม สิ่งที่คงเดิมคือความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันกับกระแสที่วัดได้ที่ขั้วทั้งสอง

ประเด็นนี้สำคัญ เพราะวงจรที่ต่างกันมากสองวงจรก็ยังอาจสมมูลกันได้จากมุมมองของโหลด ถ้าวงจรทั้งสองให้แรงดันและกระแสที่ขั้วเท่ากันสำหรับทุกโหลดที่ต่อเข้ากับขั้วคู่นั้น ก็ถือว่าสมมูลกันที่ขั้วนั้น

วิธีหาวงจรสมมูลแบบนอร์ตัน

ใช้ลำดับดังนี้:

1. ถอดโหลดออกและระบุขั้วต่อสองจุด
2. หา $I_N$ โดยลัดวงจรขั้วทั้งสองแล้วคำนวณกระแสที่เกิดขึ้น
3. หา $R_N$ โดยมองย้อนกลับเข้าไปในโครงข่าย โดยแทนแหล่งแรงดันอิสระด้วยลัดวงจร และแทนแหล่งกระแสอิสระด้วยวงจรเปิด
4. ถ้าวงจรมีแหล่งกำเนิดตามเงื่อนไข อย่าปิดทุกอย่างแบบง่าย ๆ ให้ใช้แหล่งทดสอบเพื่อหาความต้านทานสมมูล
5. วาดวงจรสมมูลแบบนอร์ตันและต่อโหลดกลับเข้าไป

ตัวอย่างคำนวณพร้อมตัวเลข

สมมติว่าโครงข่ายเดิมทราบอยู่แล้วในรูปเทวีนิน: แหล่งแรงดันอุดมคติ $12 \, \text{V}$ ต่ออนุกรมกับตัวต้านทาน $6 \, \Omega$ จงหาวงจรสมมูลแบบนอร์ตัน แล้วต่อโหลด $3 \, \Omega$

เริ่มจากหากระแสของแหล่งกำเนิด:

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}} = \frac{12}{6} = 2 \, \text{A}$$

ดังนั้นวงจรนอร์ตันคือแหล่งกระแส $2 \, \text{A}$ ที่ขนานกับ

$$R_N = 6 \, \Omega$$

ตอนนี้ต่อโหลด $R_L = 3 \, \Omega$ แหล่งกำเนิด กิ่ง $6 \, \Omega$ และโหลด $3 \, \Omega$ ล้วนต่อขนานกัน ดังนั้นให้รวมตัวต้านทานสองตัวก่อน:

$$R_{eq} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = 2 \, \Omega$$

แรงดันคร่อมทั้งสองกิ่งจึงเป็น

$$V = I_N R_{eq} = (2)(2) = 4 \, \text{V}$$

เนื่องจากโหลดมีแรงดัน $4 \, \text{V}$ คร่อมอยู่เท่ากัน กระแสโหลดจึงเป็น

$$I_L = \frac{V}{R_L} = \frac{4}{3} \, \text{A}$$

ผลนี้ตรงกับพฤติกรรมของโหลดในวงจรเดิม นี่คือใจความสำคัญของทฤษฎีบทของนอร์ตัน: รูปแบบภายในต่างกัน แต่พฤติกรรมที่ขั้วเหมือนเดิม

ข้อผิดพลาดที่นักเรียนมักทำ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือการหา $R_N$ จากวงจรที่ยังทำงานอยู่โดยไม่ระบุว่าแหล่งกำเนิดอิสระต้องจัดการอย่างไร ในขั้นตอนนี้ แหล่งแรงดันอิสระต้องแทนด้วยลัดวงจร และแหล่งกระแสอิสระต้องแทนด้วยวงจรเปิด

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือคิดว่ารูปแบบนอร์ตันใช้ได้กับทุกวงจร ทฤษฎีบทมาตรฐานนี้ใช้กับโครงข่ายเชิงเส้นแบบสองขั้ว ถ้าวงจรไม่เป็นเชิงเส้น วงจรสมมูลแบบง่ายนี้อาจใช้ไม่ได้ในทุกสภาวะการทำงาน

ข้อผิดพลาดข้อที่สามคือสับสนระหว่างกระแสของแหล่งกำเนิดกับกระแสโหลด ในวงจรนอร์ตัน แหล่งกระแสจะจ่ายกระแสให้ทั้งโครงข่ายแบบขนาน และกระแสโหลดเป็นเพียงกระแสในกิ่งหนึ่งเท่านั้น

ทฤษฎีบทของนอร์ตันมีประโยชน์เมื่อใด

ทฤษฎีบทของนอร์ตันมีประโยชน์เมื่อโหลดเปลี่ยนไปและคุณต้องการคำนวณกระแสในกิ่งใหม่อย่างรวดเร็ว นอกจากนี้ยังช่วยได้เมื่อคุณต้องการย่อส่วนหนึ่งของวงจรที่ใหญ่กว่า หรือเมื่อการแบ่งกระแสเป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติกว่าการแบ่งแรงดัน

มันยังเป็นคู่ที่สอดคล้องกันโดยธรรมชาติกับทฤษฎีบทของเทวีนิน ทั้งสองรูปแบบเก็บข้อมูลที่ขั้วเหมือนกัน แต่รูปแบบหนึ่งอาจทำให้การคำนวณบางอย่างสั้นกว่า

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำเวอร์ชันของคุณเองโดยใช้แหล่งนอร์ตัน $5 \, \text{A}$ ที่ขนานกับ $10 \, \Omega$ แล้วต่อโหลด $15 \, \Omega$ ให้หาแรงดันที่ขั้วก่อน แล้วจึงหากระแสโหลด หลังจากนั้นแปลงวงจรเดียวกันเป็นรูปเทวีนิน และตรวจสอบว่าผลของโหลดยังคงเท่าเดิม