Θεώρημα του Thevenin

Το θεώρημα του Thevenin λέει το εξής: αν ένα κύκλωμα είναι γραμμικό και σε ενδιαφέρουν μόνο δύο ακροδέκτες εξόδου, μπορείς να αντικαταστήσεις όλο το δίκτυο με μία ιδανική πηγή τάσης $V_{th}$ σε σειρά με μία αντίσταση $R_{th}$. Η αντικατάσταση δίνει την ίδια συμπεριφορά τάσης-ρεύματος σε αυτούς τους ακροδέκτες, οπότε κάθε φορτίο που συνδέεται εκεί θα συμπεριφέρεται με τον ίδιο τρόπο.

Για βασικά δίκτυα αντιστάσεων σε DC, η μέθοδος είναι γρήγορη: αφαιρείς το φορτίο, βρίσκεις την τάση ανοιχτού κυκλώματος για το $V_{th}$, βρίσκεις την αντίσταση που φαίνεται από τους ίδιους ακροδέκτες για το $R_{th}$ και μετά επανασυνδέεις το φορτίο στο απλούστερο κύκλωμα.

Τι σημαίνει το Θεώρημα του Thevenin

Το θεώρημα δεν λέει ότι το εσωτερικό του αρχικού κυκλώματος γίνεται φυσικά ίδιο με μια μπαταρία και μια αντίσταση. Λέει ότι το κύκλωμα φαίνεται ίδιο από τους δύο επιλεγμένους ακροδέκτες.

Αυτή η συνθήκη είναι σημαντική. Το θεώρημα του Thevenin εφαρμόζεται σε γραμμικά δίκτυα. Σε εισαγωγικά προβλήματα, αυτό συνήθως σημαίνει αντιστάσεις με ανεξάρτητες ή εξαρτώμενες πηγές. Στην ανάλυση AC, η ίδια ιδέα χρησιμοποιεί σύνθετη αντίσταση αντί για αντίσταση.

Γιατί οι μαθητές χρησιμοποιούν ισοδύναμα Thevenin

Χωρίς το θεώρημα του Thevenin, κάθε φορά που αλλάζει το φορτίο μπορεί να χρειάζεται να λύνεις ξανά όλο το κύκλωμα. Με το ισοδύναμο Thevenin, το δίκτυο της πηγής απλοποιείται μία φορά και μετά κάθε νέο φορτίο γίνεται ένα απλό πρόβλημα κυκλώματος σε σειρά.

Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν η άσκηση ζητά ρεύμα φορτίου, τάση φορτίου ή ισχύ για πολλές διαφορετικές τιμές φορτίου.

Πώς να βρεις ένα ισοδύναμο Thevenin

1. Αφαίρεσε το φορτίο

Επίλεξε τους δύο ακροδέκτες όπου συνδέεται το φορτίο και αποσύνδεσέ το. Ό,τι υπολογίσεις στη συνέχεια γίνεται ως προς αυτούς τους ίδιους ακροδέκτες.

2. Βρες την τάση ανοιχτού κυκλώματος

Η τάση στους ανοιχτούς ακροδέκτες είναι η τάση Thevenin:

$$V_{th} = V_{oc}$$

3. Βρες την ισοδύναμη αντίσταση

Για ένα κύκλωμα με μόνο ανεξάρτητες πηγές, απενεργοποίησε τις πηγές και κοίτα προς τους ακροδέκτες:

• Αντικατάστησε κάθε ανεξάρτητη πηγή τάσης με βραχυκύκλωμα.
• Αντικατάστησε κάθε ανεξάρτητη πηγή ρεύματος με ανοιχτό κύκλωμα.

Η αντίσταση που φαίνεται από τους ακροδέκτες είναι το $R_{th}$.

Αν υπάρχουν εξαρτώμενες πηγές, αυτή η συντόμευση δεν αρκεί από μόνη της. Σε αυτή την περίπτωση, κράτησε ενεργές τις εξαρτώμενες πηγές και χρησιμοποίησε μια πηγή δοκιμής ή άλλη έγκυρη μέθοδο.

4. Επανασύνδεσε το φορτίο

Τώρα αντικατάστησε το αρχικό δίκτυο με $V_{th}$ σε σειρά με $R_{th}$.

Αν συνδεθεί ένα φορτίο $R_L$, το ρεύμα φορτίου είναι

$$I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L}$$

και η τάση φορτίου είναι

$$V_L = I_L R_L$$

Λυμένο παράδειγμα Θεωρήματος Thevenin

Έστω ότι μια ιδανική πηγή $12$ V τροφοδοτεί έναν διαιρέτη τάσης με $R_1 = 4 \, \Omega$ σε σειρά με $R_2 = 8 \, \Omega$. Οι ακροδέκτες εξόδου είναι στα άκρα του $R_2$ και ένα φορτίο $R_L$ θα συνδεθεί στους ίδιους ακροδέκτες. Βρες το ισοδύναμο Thevenin που βλέπει το $R_L$.

Βήμα 1: Αφαίρεσε το φορτίο

Αποσύνδεσε το $R_L$ αν υπάρχει. Το δίκτυο της πηγής που απομένει εξακολουθεί να είναι ο διαιρέτης που σχηματίζεται από τα $R_1$ και $R_2$.

Βήμα 2: Βρες το $V_{th}$

Η τάση ανοιχτού κυκλώματος στους ακροδέκτες εξόδου είναι η τάση του διαιρέτη στα άκρα του $R_2$:

$$V_{th} = 12 \cdot \frac{8}{4 + 8} = 8$$

Άρα $V_{th} = 8$ V.

Βήμα 3: Βρες το $R_{th}$

Απενεργοποίησε την ανεξάρτητη πηγή τάσης, οπότε η πηγή $12$ V γίνεται βραχυκύκλωμα. Κοιτώντας προς τους ακροδέκτες εξόδου, τα $R_1$ και $R_2$ είναι και τα δύο συνδεδεμένα από τον ακροδέκτη προς τη γείωση, άρα είναι παράλληλα:

$$R_{th} = \frac{4 \cdot 8}{4 + 8} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$$

Άρα $R_{th} = \frac{8}{3} \, \Omega \approx 2.67 \, \Omega$.

Από την πλευρά του φορτίου, το αρχικό δίκτυο είναι τώρα απλώς μια πηγή $8$ V σε σειρά με περίπου $2.67 \, \Omega$.

Βήμα 4: Δοκίμασε ένα φορτίο

Αν τώρα συνδέσεις $R_L = 5 \, \Omega$, το ρεύμα φορτίου είναι

$$I_L = \frac{8}{2.67 + 5} \approx 1.04$$

Άρα $I_L \approx 1.04$ A. Τότε η τάση φορτίου είναι

$$V_L \approx (1.04)(5) \approx 5.2$$

Άρα $V_L \approx 5.2$ V. Αυτό είναι το βασικό πλεονέκτημα του θεωρήματος του Thevenin: μόλις απλοποιήσεις το δίκτυο της πηγής, η δοκιμή ενός νέου φορτίου γίνεται γρήγορα.

Συνηθισμένα λάθη στο Θεώρημα του Thevenin

• Εύρεση του $V_{th}$ ενώ το φορτίο παραμένει συνδεδεμένο. Ο τυπικός ορισμός χρησιμοποιεί την τάση ανοιχτού κυκλώματος στους ακροδέκτες.
• Απενεργοποίηση εξαρτώμενων πηγών σαν να ήταν ανεξάρτητες πηγές. Αυτό δίνει λάθος $R_{th}$ σε πολλά κυκλώματα.
• Να ξεχνάς ότι το Thevenin ορίζεται για ένα συγκεκριμένο ζεύγος ακροδεκτών. Αν αλλάξουν οι ακροδέκτες, μπορεί να αλλάξει και το ισοδύναμο.
• Σύγχυση του μετασχηματισμού πηγής με την απλοποίηση μέσα στο αρχικό κύκλωμα. Η ισοδυναμία αφορά τη συμπεριφορά στους ακροδέκτες, όχι κάθε εσωτερική τιμή κλάδου.

Πότε χρησιμοποιείται το Θεώρημα του Thevenin

Τα ισοδύναμα Thevenin εμφανίζονται στον σχεδιασμό κυκλωμάτων, σε προβλήματα μετρήσεων, σε διεπαφές αισθητήρων και σε ερωτήματα προσαρμογής φορτίου. Είναι επίσης ένας πρακτικός τρόπος να περιγράψεις πόσο ισχυρά μπορεί ένα δίκτυο πηγής να οδηγήσει ένα φορτίο.

Μόλις κατανοήσεις την ιδέα, τα ισοδύναμα Norton είναι η φυσική επόμενη σύγκριση, επειδή περιγράφουν την ίδια συμπεριφορά στους ακροδέκτες σε μορφή πηγής ρεύματος.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο κύκλωμα

Κράτησε το ίδιο δίκτυο πηγής, αλλά άλλαξε το φορτίο σε $R_L = 10 \, \Omega$. Χρησιμοποίησε τα ίδια $V_{th}$ και $R_{th}$ για να βρεις το νέο ρεύμα και την τάση φορτίου. Αν θέλεις να προχωρήσεις ένα βήμα παραπέρα, δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με διαφορετικό διαιρέτη και έλεγξε πώς αλλάζουν τόσο το $V_{th}$ όσο και το $R_{th}$.