Nortonsches Theorem

Das Nortonsche Theorem besagt, dass jedes lineare Zweipolnetzwerk an seinen Ausgangsklemmen durch eine äquivalente Stromquelle parallel zu einem äquivalenten Widerstand ersetzt werden kann. Für Lernende bei Schaltungsaufgaben bedeutet das: Du kannst ein unübersichtliches Netzwerk durch ein einfacheres ersetzen, ohne die von der Last gesehene Spannung oder den Strom zu verändern.

Wenn das Netzwerk linear ist und du dieselben zwei Klemmen beibehältst, liefert der Ersatz für jede dort angeschlossene Last dasselbe Klemmenverhalten. Die Norton-Form ist besonders praktisch, wenn du den Laststrom bestimmen willst.

Das Nortonsche Theorem in einem Satz

Für ein lineares Zweipolnetzwerk kann die äußere Schaltung ersetzt werden durch

$$\text{Norton equivalent} = I_N \text{ in parallel with } R_N$$

Hier ist $I_N$ der Kurzschlussstrom an den Ausgangsklemmen, und $R_N$ ist der äquivalente Widerstand, den man beim Blick in das Netzwerk hinein sieht.

Wenn du die Thevenin-Ersatzschaltung desselben linearen Netzwerks bereits kennst, dann gilt

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}}, \qquad R_N = R_{TH}$$

Diese Abkürzung funktioniert nur, wenn beide Ersatzschaltungen dieselbe lineare Zweipolschaltung beschreiben.

Was die Ersatzschaltung beibehält

Das Innere der Schaltung bleibt nicht gleich. Gleich bleibt das Spannungs-Strom-Verhalten, das an den beiden Klemmen gemessen wird.

Dieser Unterschied ist wichtig, weil zwei sehr verschiedene Schaltungen aus Sicht der Last trotzdem äquivalent sein können. Wenn sie für jede an diesen Klemmen angeschlossene Last dieselbe Klemmenspannung und denselben Klemmenstrom liefern, sind sie dort äquivalent.

So findest du eine Norton-Ersatzschaltung

Verwende diese Reihenfolge:

1. Entferne die Last und markiere die beiden Klemmen.
2. Bestimme $I_N$, indem du diese Klemmen kurzschließt und den resultierenden Strom berechnest.
3. Bestimme $R_N$, indem du in das Netzwerk hineinblickst, wobei unabhängige Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und unabhängige Stromquellen durch Unterbrechungen ersetzt werden.
4. Wenn die Schaltung abhängige Quellen enthält, schalte nicht einfach alles ab. Verwende eine Testquelle, um den effektiven Widerstand zu bestimmen.
5. Zeichne die Norton-Ersatzschaltung und schließe die Last wieder an.

Durchgerechnetes Beispiel mit Zahlen

Angenommen, das ursprüngliche Netzwerk ist bereits in Thevenin-Form bekannt: eine ideale Quelle mit $12 \, \text{V}$ in Reihe mit einem Widerstand von $6 \, \Omega$. Bestimme die Norton-Ersatzschaltung und schließe dann eine Last von $3 \, \Omega$ an.

Beginne mit dem Quellenstrom:

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}} = \frac{12}{6} = 2 \, \text{A}$$

Die Norton-Schaltung ist also eine Stromquelle von $2 \, \text{A}$ parallel zu

$$R_N = 6 \, \Omega$$

Schließe nun die Last $R_L = 3 \, \Omega$ an. Die Quelle, der $6 \, \Omega$-Zweig und die $3 \, \Omega$-Last liegen alle parallel, also fasse zuerst die beiden Widerstände zusammen:

$$R_{eq} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = 2 \, \Omega$$

Die Spannung über beiden Zweigen ist dann

$$V = I_N R_{eq} = (2)(2) = 4 \, \text{V}$$

Da an der Last dieselben $4 \, \text{V}$ anliegen, ist der Laststrom

$$I_L = \frac{V}{R_L} = \frac{4}{3} \, \text{A}$$

Das entspricht genau dem Lastverhalten der ursprünglichen Schaltung. Genau das ist der Sinn des Nortonschen Theorems: unterschiedliche innere Formen, aber dasselbe Verhalten an den Klemmen.

Häufige Fehler von Lernenden

Ein häufiger Fehler ist, $R_N$ aus der aktiven Schaltung zu bestimmen, ohne anzugeben, was mit den unabhängigen Quellen geschieht. In diesem Schritt werden unabhängige Spannungsquellen zu Kurzschlüssen und unabhängige Stromquellen zu Unterbrechungen.

Ein weiterer Fehler ist die Annahme, dass die Norton-Form für jede Schaltung funktioniert. Das Standardtheorem gilt für lineare Zweipolnetzwerke. Ist die Schaltung nichtlinear, gilt dieselbe einfache Ersatzschaltung möglicherweise nicht für jeden Betriebszustand.

Ein dritter Fehler ist, den Quellenstrom mit dem Laststrom zu verwechseln. In einer Norton-Schaltung speist die Stromquelle das gesamte Parallelnetzwerk, und der Laststrom ist nur der Strom in einem Zweig.

Wann das Nortonsche Theorem nützlich ist

Das Nortonsche Theorem ist nützlich, wenn sich die Last ändert und du den Zweigstrom schnell neu berechnen willst. Es hilft auch, wenn du einen Teil einer größeren Schaltung vereinfachst oder wenn Stromteilung naheliegender ist als Spannungsteilung.

Es ist außerdem das natürliche Gegenstück zum Thevenin-Theorem. Beide Formen enthalten dieselben Klemmeninformationen, aber eine Form kann eine bestimmte Rechnung kürzer machen.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Probiere deine eigene Variante mit einer Norton-Stromquelle von $5 \, \text{A}$ parallel zu $10 \, \Omega$ und schließe dann eine Last von $15 \, \Omega$ an. Bestimme zuerst die Klemmenspannung und dann den Laststrom. Wandle danach dieselbe Schaltung in die Thevenin-Form um und überprüfe, dass das Ergebnis für die Last gleich bleibt.