Νόμοι του Kirchhoff — Εξήγηση των KCL & KVL με Παραδείγματα

Οι νόμοι του Kirchhoff είναι οι βασικοί κανόνες για την ανάλυση κυκλωμάτων με περισσότερους από έναν κλάδους ή βρόχους. Ο νόμος ρευμάτων του Kirchhoff, ή KCL, λέει ότι το ρεύμα διατηρείται σε έναν κόμβο στη μόνιμη κατάσταση ανάλυσης κυκλωμάτων. Ο νόμος τάσεων του Kirchhoff, ή KVL, λέει ότι οι προσημασμένες μεταβολές τάσης γύρω από έναν κλειστό βρόχο αθροίζονται σε μηδέν στο συνηθισμένο μοντέλο συγκεντρωμένων κυκλωμάτων.

Αν θέλεις το πιο γρήγορο βοήθημα μνήμης, κράτησε αυτόν τον διαχωρισμό: ο KCL είναι για κόμβους, ο KVL είναι για βρόχους.

Τι σημαίνει ο KCL

Ο KCL εφαρμόζεται εκεί όπου συναντώνται οι κλάδοι.

$$\sum I_{in} = \sum I_{out}$$

Μπορείς επίσης να γράψεις την ίδια ιδέα ως

$$\sum I = 0$$

αν δώσεις ένα πρόσημο στα ρεύματα που εισέρχονται στον κόμβο και το αντίθετο πρόσημο στα ρεύματα που εξέρχονται από αυτόν.

Η διαίσθηση είναι απλή. Σε μόνιμη λειτουργία, το φορτίο δεν συνεχίζει να συσσωρεύεται σε έναν συνηθισμένο κόμβο κυκλώματος. Άρα ό,τι ρεύμα εισέρχεται πρέπει και να εξέρχεται.

Τι σημαίνει ο KVL

Ο KVL εφαρμόζεται γύρω από έναν κλειστό βρόχο.

$$\sum V = 0$$

Αυτό σημαίνει ότι κάθε άνοδος τάσης εξισορροπείται από πτώσεις τάσης όταν επιστρέφεις στο αρχικό σημείο.

Αυτή είναι μια ιδέα λογιστικής της ενέργειας. Μια πηγή όπως μια μπαταρία δίνει ενέργεια ανά μονάδα φορτίου, και στοιχεία του κυκλώματος όπως οι αντιστάτες αφαιρούν αυτή την ενέργεια ως πτώσεις τάσης.

Η συνθήκη έχει σημασία. Στο συνηθισμένο εισαγωγικό μοντέλο συγκεντρωμένων κυκλωμάτων, ο KVL ισχύει ακριβώς όπως γράφεται. Αν ένας μεταβαλλόμενος μαγνητικός ρους διαπερνά τον βρόχο, η απλή μορφή χρειάζεται επιπλέον προσοχή.

Γιατί συνήθως χρειάζεσαι και τους δύο νόμους

Οι KCL και KVL κάνουν διαφορετικές δουλειές. Ο KCL συνδέει τα ρεύματα στους κόμβους. Ο KVL συνδέει τις τάσεις γύρω από βρόχους. Στα περισσότερα πραγματικά προβλήματα, τους συνδυάζεις με έναν νόμο στοιχείου όπως ο νόμος του Ohm.

Γι’ αυτό τα προβλήματα του Kirchhoff συχνά μοιάζουν με σύστημα εξισώσεων και όχι με έναν μόνο τύπο. Οι νόμοι σου λένε τι πρέπει να διατηρείται, και οι εξισώσεις των στοιχείων σου λένε πώς συμπεριφέρεται κάθε μέρος.

Λυμένο Παράδειγμα: Εύρεση ρευμάτων κλάδων σε παράλληλο κύκλωμα

Έστω ότι μια μπαταρία $12 \, \mathrm{V}$ συνδέεται με δύο παράλληλες αντιστάσεις, $3 \, \Omega$ και $6 \, \Omega$. Έστω ότι τα ρεύματα των κλάδων είναι $I_1$ μέσω της αντίστασης $3 \, \Omega$ και $I_2$ μέσω της αντίστασης $6 \, \Omega$.

Επειδή οι αντιστάσεις είναι παράλληλες, κάθε κλάδος συνδέεται στα ίδια δύο σημεία με την μπαταρία. Αυτό σημαίνει ότι κάθε αντίσταση έχει διαφορά δυναμικού $12 \, \mathrm{V}$ στα άκρα της. Ο KVL σου επιτρέπει να γράψεις αυτή την ισορροπία τάσης γύρω από κάθε βρόχο μπαταρίας-κλάδου.

Ξεκίνα με τον βρόχο που περιέχει την μπαταρία και τον κλάδο των $3 \, \Omega$:

$$12 - 3I_1 = 0$$

Άρα

$$I_1 = \frac{12}{3} = 4 \, \mathrm{A}$$

Τώρα χρησιμοποίησε τον βρόχο που περιέχει την μπαταρία και τον κλάδο των $6 \, \Omega$:

$$12 - 6I_2 = 0$$

Άρα

$$I_2 = \frac{12}{6} = 2 \, \mathrm{A}$$

Τώρα πήγαινε στον κόμβο όπου το ρεύμα χωρίζεται. Ο KCL δίνει

$$I_{\text{total}} = I_1 + I_2 = 4 + 2 = 6 \, \mathrm{A}$$

Άρα η μπαταρία παρέχει συνολικά $6 \, \mathrm{A}$, ενώ το ρεύμα μοιράζεται άνισα στους δύο κλάδους επειδή οι αντιστάσεις είναι διαφορετικές.

Αυτό είναι το βασικό μοτίβο που πρέπει να θυμάσαι:

• Ο KVL σου δίνει την ισορροπία τάσης γύρω από κάθε βρόχο.
• Ο KCL σου δείχνει πώς το ρεύμα διαιρείται και επανασυνδυάζεται στους κόμβους.

Συνηθισμένα λάθη

Ανάμειξη συμβάσεων προσήμων

Διάλεξε πρώτα μια κατεύθυνση ρεύματος και μια φορά διαγραφής του βρόχου. Έπειτα κράτησέ τες σταθερές. Αν ένα υπολογισμένο ρεύμα βγει αρνητικό, αυτό συνήθως σημαίνει ότι το πραγματικό ρεύμα έχει αντίθετη κατεύθυνση.

Χρήση μόνο των νόμων του Kirchhoff χωρίς εξισώσεις στοιχείων

Οι KCL και KVL σπάνια ολοκληρώνουν μόνοι τους το πρόβλημα. Συνήθως χρειάζεσαι ακόμα μια σχέση όπως $V = IR$ για έναν αντιστάτη.

Γραφή του KVL σε διαδρομή που δεν είναι κλειστός βρόχος

Ο KVL είναι κανόνας βρόχου. Αν δεν επιστρέφεις στο αρχικό σημείο, δεν εφαρμόζεις σωστά τον νόμο.

Παράβλεψη της συνθήκης πίσω από την απλή μορφή του KVL

Για τις συνηθισμένες ασκήσεις κυκλωμάτων, η συνηθισμένη μορφή λειτουργεί καλά. Σε πιο προχωρημένες ηλεκτρομαγνητικές καταστάσεις με μεταβαλλόμενο μαγνητικό ρου, δεν πρέπει να εφαρμόζεις άκριτα τον απλό κανόνα βρόχου.

Πού χρησιμοποιούνται οι νόμοι του Kirchhoff

Οι νόμοι του Kirchhoff χρησιμοποιούνται κάθε φορά που ένα κύκλωμα έχει πολλούς κλάδους, πολλούς βρόχους ή πάρα πολλές άγνωστες ποσότητες για μια σύντομη φόρμουλα. Αποτελούν τη βάση της ανάλυσης τάσεων κόμβων, της ανάλυσης ρευμάτων βρόχων και πολλών προβλημάτων δικτύων αντιστάσεων.

Ακόμα και όταν ένα λογισμικό κυκλωμάτων λύνει το σύστημα αυτόματα, συνήθως εφαρμόζει από κάτω τις ίδιες ιδέες διατήρησης.

Πώς να καταλάβεις αν πρέπει να χρησιμοποιήσεις πρώτα KCL ή KVL

Αν η ερώτηση αφορά το πώς το ρεύμα χωρίζεται ή συνδυάζεται, ξεκίνα αναζητώντας KCL σε έναν κόμβο.

Αν η ερώτηση αφορά ανόδους και πτώσεις τάσης γύρω από μια διαδρομή στο κύκλωμα, ξεκίνα αναζητώντας KVL γύρω από έναν βρόχο.

Αν το κύκλωμα περιλαμβάνει αντιστάτες με γνωστές τιμές, περίμενε ότι θα χρειαστεί να συνδυάσεις και τους δύο με τον νόμο του Ohm.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα με τους νόμους του Kirchhoff

Άλλαξε το παράδειγμα σε μια μπαταρία $9 \, \mathrm{V}$ με τις ίδιες δύο αντιστάσεις. Πρώτα βρες το ρεύμα σε κάθε κλάδο. Έπειτα χρησιμοποίησε τον KCL για να ελέγξεις το συνολικό ρεύμα στον κόμβο διακλάδωσης.