Twierdzenie Nortona

Twierdzenie Nortona mówi, że każdą liniową sieć dwuzaciskową można na jej zaciskach wyjściowych zastąpić równoważnym źródłem prądowym połączonym równolegle z równoważną rezystancją. Dla ucznia rozwiązującego zadania z obwodów oznacza to, że można zamienić złożoną sieć na prostszą bez zmiany napięcia ani prądu widzianego przez obciążenie.

Jeśli sieć jest liniowa i zachowasz te same dwa zaciski, takie zastąpienie daje to samo zachowanie na zaciskach dla dowolnego obciążenia do nich podłączonego. Postać Nortona jest szczególnie wygodna wtedy, gdy chcesz wyznaczyć prąd obciążenia.

Twierdzenie Nortona w jednym zdaniu

Dla liniowej sieci dwuzaciskowej obwód zewnętrzny można zastąpić przez

$$\text{Norton equivalent} = I_N \text{ in parallel with } R_N$$

Tutaj $I_N$ to prąd zwarciowy na zaciskach wyjściowych, a $R_N$ to rezystancja równoważna widziana przy patrzeniu w głąb sieci.

Jeśli znasz już równoważnik Thevenina tej samej liniowej sieci, to

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}}, \qquad R_N = R_{TH}$$

Ten skrót działa tylko wtedy, gdy oba równoważniki opisują ten sam liniowy obwód dwuzaciskowy.

Co zachowuje obwód równoważny

Wnętrze obwodu nie pozostaje takie samo. To, co pozostaje takie samo, to zależność napięciowo-prądowa mierzona na tych dwóch zaciskach.

To rozróżnienie jest ważne, ponieważ dwa bardzo różne obwody mogą być równoważne z punktu widzenia obciążenia. Jeśli dla każdego obciążenia podłączonego do tych zacisków dają to samo napięcie i prąd na zaciskach, to są w tym miejscu równoważne.

Jak wyznaczyć równoważnik Nortona

Użyj następującej kolejności:

1. Odłącz obciążenie i zaznacz dwa zaciski.
2. Wyznacz $I_N$, zwierając te zaciski i obliczając powstały prąd.
3. Wyznacz $R_N$, patrząc w głąb sieci przy zastąpieniu niezależnych źródeł napięcia zwarciami, a niezależnych źródeł prądu przerwami.
4. Jeśli obwód zawiera źródła zależne, nie wyłączaj po prostu wszystkiego. Użyj źródła testowego, aby wyznaczyć rezystancję zastępczą.
5. Narysuj równoważnik Nortona i ponownie podłącz obciążenie.

Przykład obliczeniowy z liczbami

Załóżmy, że oryginalna sieć jest już znana w postaci Thevenina: idealne źródło $12 \, \text{V}$ połączone szeregowo z rezystorem $6 \, \Omega$. Wyznacz równoważnik Nortona, a następnie podłącz obciążenie $3 \, \Omega$.

Zacznij od prądu źródła:

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}} = \frac{12}{6} = 2 \, \text{A}$$

Zatem obwód Nortona to źródło prądowe $2 \, \text{A}$ połączone równolegle z

$$R_N = 6 \, \Omega$$

Teraz podłącz obciążenie $R_L = 3 \, \Omega$. Źródło, gałąź $6 \, \Omega$ i obciążenie $3 \, \Omega$ są połączone równolegle, więc najpierw połącz dwa rezystory:

$$R_{eq} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = 2 \, \Omega$$

Napięcie na obu gałęziach wynosi wtedy

$$V = I_N R_{eq} = (2)(2) = 4 \, \text{V}$$

Ponieważ na obciążeniu występuje to samo napięcie $4 \, \text{V}$, prąd obciążenia wynosi

$$I_L = \frac{V}{R_L} = \frac{4}{3} \, \text{A}$$

To zgadza się z zachowaniem obciążenia w oryginalnym obwodzie. Właśnie o to chodzi w twierdzeniu Nortona: różne postacie wewnętrzne, to samo zachowanie na zaciskach.

Typowe błędy popełniane przez uczniów

Jednym z częstych błędów jest wyznaczanie $R_N$ z aktywnego obwodu bez określenia, co dzieje się ze źródłami niezależnymi. W tym kroku niezależne źródła napięcia zastępuje się zwarciami, a niezależne źródła prądu przerwami.

Innym błędem jest założenie, że postać Nortona działa dla każdego obwodu. Standardowe twierdzenie dotyczy liniowych sieci dwuzaciskowych. Jeśli obwód jest nieliniowy, ten sam prosty równoważnik może nie obowiązywać w każdych warunkach pracy.

Trzecim błędem jest mylenie prądu źródła z prądem obciążenia. W obwodzie Nortona źródło prądowe zasila całą sieć równoległą, a prąd obciążenia jest tylko prądem jednej z gałęzi.

Kiedy twierdzenie Nortona jest przydatne

Twierdzenie Nortona jest przydatne wtedy, gdy obciążenie się zmienia i chcesz szybko ponownie obliczyć prąd gałęzi. Pomaga też wtedy, gdy upraszczasz część większego obwodu albo gdy podział prądu jest bardziej naturalny niż podział napięcia.

Jest też naturalnym odpowiednikiem twierdzenia Thevenina. Obie postacie zawierają te same informacje o zaciskach, ale jedna z nich może skrócić konkretne obliczenia.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj własnej wersji z źródłem Nortona $5 \, \text{A}$ połączonym równolegle z $10 \, \Omega$, a następnie podłącz obciążenie $15 \, \Omega$. Najpierw wyznacz napięcie na zaciskach, a potem prąd obciążenia. Następnie przekształć ten sam obwód do postaci Thevenina i sprawdź, czy wynik dla obciążenia pozostaje taki sam.