노턴 정리

노턴 정리는 어떤 선형 2단자 네트워크도 출력 단자에서 보았을 때, 등가 전류원과 등가 저항의 병렬회로로 바꿀 수 있다고 말합니다. 회로 문제를 푸는 학생 입장에서는, 복잡한 네트워크를 더 단순한 회로로 바꾸면서도 부하가 보는 전압과 전류는 그대로 유지할 수 있다는 뜻입니다.

네트워크가 선형이고 같은 두 단자를 유지한다면, 그 치환 회로는 그 단자에 어떤 부하를 연결하더라도 같은 단자 특성을 제공합니다. 노턴 형태는 특히 부하 전류를 구하고 싶을 때 편리합니다.

한 문장으로 보는 노턴 정리

선형 2단자 네트워크에 대해, 외부에서 본 회로는 다음으로 대체할 수 있습니다.

$$\text{Norton equivalent} = I_N \text{ in parallel with } R_N$$

여기서 $I_N$은 출력 단자의 단락 전류이고, $R_N$은 네트워크 안쪽을 바라보았을 때 보이는 등가 저항입니다.

같은 선형 네트워크의 테브난 등가회로를 이미 알고 있다면,

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}}, \qquad R_N = R_{TH}$$

라는 관계를 바로 사용할 수 있습니다. 이 지름길은 두 등가회로가 같은 2단자 선형 회로를 나타낼 때만 성립합니다.

등가회로에서 유지되는 것

회로 내부가 그대로 유지되는 것은 아닙니다. 그대로 유지되는 것은 두 단자에서 측정되는 전압-전류 특성입니다.

이 차이는 중요합니다. 서로 매우 다른 두 회로라도 부하의 관점에서는 등가일 수 있기 때문입니다. 그 단자에 연결되는 모든 부하에 대해 같은 단자 전압과 전류를 만든다면, 그 단자에서는 서로 등가입니다.

노턴 등가회로를 구하는 방법

다음 순서로 진행하세요.

1. 부하를 제거하고 두 단자를 표시합니다.
2. 그 단자를 단락시켜 생기는 전류를 계산해 $I_N$을 구합니다.
3. 독립 전압원은 단락으로, 독립 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 네트워크 안쪽을 바라보며 $R_N$을 구합니다.
4. 회로에 종속 전원이 있으면, 모든 전원을 단순히 끄면 안 됩니다. 시험 전원을 사용해 유효 저항을 구하세요.
5. 노턴 등가회로를 그리고 부하를 다시 연결합니다.

수치가 있는 예제

원래 네트워크가 이미 테브난 형태로 주어졌다고 합시다. 이상적인 $12 \, \text{V}$ 전압원 하나와 $6 \, \Omega$ 저항 하나가 직렬로 연결되어 있습니다. 노턴 등가회로를 구한 뒤, $3 \, \Omega$ 부하를 연결해 봅시다.

먼저 전류원을 구합니다.

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}} = \frac{12}{6} = 2 \, \text{A}$$

따라서 노턴 회로는 $2 \, \text{A}$ 전류원과 다음 저항의 병렬회로입니다.

$$R_N = 6 \, \Omega$$

이제 부하 $R_L = 3 \, \Omega$를 연결합니다. 전류원, $6 \, \Omega$ 가지, 그리고 $3 \, \Omega$ 부하는 모두 병렬이므로 먼저 두 저항을 합성합니다.

$$R_{eq} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = 2 \, \Omega$$

그러면 두 가지에 걸리는 전압은

$$V = I_N R_{eq} = (2)(2) = 4 \, \text{V}$$

가 됩니다.

부하에도 같은 $4 \, \text{V}$가 걸리므로, 부하 전류는

$$I_L = \frac{V}{R_L} = \frac{4}{3} \, \text{A}$$

입니다.

이 결과는 원래 회로에서의 부하 동작과 일치합니다. 이것이 바로 노턴 정리의 핵심입니다. 내부 형태는 달라도, 단자에서의 동작은 같습니다.

학생들이 자주 하는 실수

흔한 실수 중 하나는 독립 전원을 어떻게 처리하는지 밝히지 않은 채, 살아 있는 회로에서 그대로 $R_N$을 구하는 것입니다. 이 단계에서는 독립 전압원은 단락으로, 독립 전류원은 개방으로 바꿔야 합니다.

또 다른 실수는 노턴 형태가 모든 회로에 적용된다고 생각하는 것입니다. 표준적인 노턴 정리는 선형 2단자 네트워크에 적용됩니다. 회로가 비선형이면, 같은 단순한 등가회로가 모든 동작 조건에서 성립하지 않을 수 있습니다.

세 번째 실수는 전류원 전류와 부하 전류를 혼동하는 것입니다. 노턴 회로에서 전류원은 전체 병렬 네트워크에 전류를 공급하며, 부하 전류는 그중 한 가지의 전류일 뿐입니다.

노턴 정리가 유용한 경우

노턴 정리는 부하가 바뀔 때 가지 전류를 빠르게 다시 계산하고 싶을 때 유용합니다. 또한 더 큰 회로의 일부를 단순화할 때나, 전압 분배보다 전류 분배가 더 자연스러운 상황에서도 도움이 됩니다.

또한 테브난 정리와 짝을 이루는 자연스러운 개념이기도 합니다. 두 형태는 같은 단자 정보를 담고 있지만, 어떤 계산에서는 한쪽 형태가 더 짧고 편리할 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

$5 \, \text{A}$ 노턴 전류원과 $10 \, \Omega$ 저항이 병렬인 회로를 만든 뒤, $15 \, \Omega$ 부하를 연결해 보세요. 먼저 단자 전압을 구하고, 그다음 부하 전류를 구해 보세요. 그 후 같은 회로를 테브난 형태로 변환해서 부하 결과가 같은지 확인해 보세요.