Théorème de Norton

Le théorème de Norton dit que tout réseau linéaire à deux bornes peut être remplacé, à ses bornes de sortie, par une source de courant équivalente en parallèle avec une résistance équivalente. Pour un étudiant qui résout des problèmes de circuits, cela signifie qu’on peut remplacer un réseau compliqué par un réseau plus simple sans changer la tension ni le courant vus par la charge.

Si le réseau est linéaire et que l’on conserve les mêmes deux bornes, le remplacement donne le même comportement aux bornes pour toute charge connectée à cet endroit. La forme de Norton est particulièrement pratique quand on cherche le courant dans la charge.

Le théorème de Norton en une phrase

Pour un réseau linéaire à deux bornes, le circuit externe peut être remplacé par

$$\text{Norton equivalent} = I_N \text{ in parallel with } R_N$$

Ici, $I_N$ est le courant de court-circuit aux bornes de sortie, et $R_N$ est la résistance équivalente vue en regardant vers l’intérieur du réseau.

Si vous connaissez déjà l’équivalent de Thévenin du même réseau linéaire, alors

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}}, \qquad R_N = R_{TH}$$

Ce raccourci ne fonctionne que lorsque les deux équivalents décrivent le même circuit linéaire à deux bornes.

Ce que le circuit équivalent conserve

L’intérieur du circuit ne reste pas identique. Ce qui reste identique, c’est le comportement tension-courant mesuré aux deux bornes.

Cette distinction est importante, car deux circuits très différents peuvent tout de même être équivalents du point de vue de la charge. S’ils produisent la même tension et le même courant aux bornes pour chaque charge connectée à ces bornes, alors ils y sont équivalents.

Comment trouver un équivalent de Norton

Suivez cette méthode :

1. Retirez la charge et repérez les deux bornes.
2. Trouvez $I_N$ en court-circuitant ces bornes et en calculant le courant obtenu.
3. Trouvez $R_N$ en regardant vers l’intérieur du réseau, avec les sources de tension indépendantes remplacées par des courts-circuits et les sources de courant indépendantes remplacées par des circuits ouverts.
4. Si le circuit contient des sources dépendantes, ne vous contentez pas de tout annuler. Utilisez une source de test pour trouver la résistance effective.
5. Dessinez l’équivalent de Norton et reconnectez la charge.

Exemple résolu avec des valeurs numériques

Supposons que le réseau d’origine soit déjà connu sous forme de Thévenin : une source idéale de $12 \, \text{V}$ en série avec une résistance de $6 \, \Omega$. Trouvez l’équivalent de Norton, puis connectez une charge de $3 \, \Omega$.

Commençons par le courant de la source :

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}} = \frac{12}{6} = 2 \, \text{A}$$

Le circuit de Norton est donc une source de courant de $2 \, \text{A}$ en parallèle avec

$$R_N = 6 \, \Omega$$

Connectons maintenant la charge $R_L = 3 \, \Omega$. La source, la branche de $6 \, \Omega$ et la charge de $3 \, \Omega$ sont toutes en parallèle, donc on commence par combiner les deux résistances :

$$R_{eq} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = 2 \, \Omega$$

La tension aux bornes des deux branches vaut alors

$$V = I_N R_{eq} = (2)(2) = 4 \, \text{V}$$

Comme la charge a la même tension de $4 \, \text{V}$ à ses bornes, le courant dans la charge est

$$I_L = \frac{V}{R_L} = \frac{4}{3} \, \text{A}$$

Cela correspond bien au comportement de la charge dans le circuit d’origine. C’est exactement l’intérêt du théorème de Norton : des formes internes différentes, mais le même comportement aux bornes.

Erreurs fréquentes des étudiants

Une erreur fréquente consiste à trouver $R_N$ à partir du circuit actif sans préciser ce qu’il advient des sources indépendantes. À cette étape, les sources de tension indépendantes deviennent des courts-circuits et les sources de courant indépendantes deviennent des circuits ouverts.

Une autre erreur consiste à supposer que la forme de Norton fonctionne pour n’importe quel circuit. Le théorème standard s’applique aux réseaux linéaires à deux bornes. Si le circuit est non linéaire, le même équivalent simple peut ne pas rester valable dans toutes les conditions de fonctionnement.

Une troisième erreur consiste à confondre le courant de la source avec le courant de la charge. Dans un circuit de Norton, la source de courant alimente tout le réseau en parallèle, et le courant de la charge n’est que le courant d’une des branches.

Quand le théorème de Norton est utile

Le théorème de Norton est utile lorsque la charge change et que vous voulez recalculer rapidement un courant de branche. Il aide aussi lorsqu’on simplifie une partie d’un circuit plus grand ou lorsque le diviseur de courant est plus naturel à utiliser que le diviseur de tension.

C’est aussi le complément naturel du théorème de Thévenin. Les deux formes contiennent la même information aux bornes, mais l’une peut rendre un calcul précis plus court.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec une source de Norton de $5 \, \text{A}$ en parallèle avec $10 \, \Omega$, puis connectez une charge de $15 \, \Omega$. Trouvez d’abord la tension aux bornes, puis le courant dans la charge. Ensuite, convertissez le même circuit en forme de Thévenin et vérifiez que le résultat pour la charge reste le même.