Teorema di Norton

Il teorema di Norton afferma che qualsiasi rete lineare a due terminali può essere sostituita, ai suoi terminali di uscita, da una sorgente di corrente equivalente in parallelo con una resistenza equivalente. Per uno studente che risolve problemi di circuiti, questo significa che puoi sostituire una rete complicata con una più semplice senza cambiare la tensione o la corrente viste dal carico.

Se la rete è lineare e mantieni gli stessi due terminali, la sostituzione fornisce lo stesso comportamento ai terminali per qualunque carico collegato lì. La forma di Norton è particolarmente utile quando vuoi trovare la corrente nel carico.

Il teorema di Norton in una frase

Per una rete lineare a due terminali, il circuito esterno può essere sostituito da

$$\text{equivalente di Norton} = I_N \text{ in parallelo con } R_N$$

Qui, $I_N$ è la corrente di cortocircuito ai terminali di uscita, e $R_N$ è la resistenza equivalente vista guardando all’interno della rete.

Se conosci già l’equivalente di Thevenin della stessa rete lineare, allora

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}}, \qquad R_N = R_{TH}$$

Questa scorciatoia funziona solo quando entrambi gli equivalenti descrivono lo stesso circuito lineare a due terminali.

Cosa conserva il circuito equivalente

L’interno del circuito non rimane uguale. Ciò che rimane uguale è il comportamento tensione-corrente misurato ai due terminali.

Questa distinzione è importante perché due circuiti molto diversi possono comunque essere equivalenti dal punto di vista del carico. Se producono la stessa tensione e la stessa corrente ai terminali per ogni carico collegato a quei terminali, allora sono equivalenti in quel punto.

Come trovare un equivalente di Norton

Usa questa sequenza:

1. Rimuovi il carico e individua i due terminali.
2. Trova $I_N$ cortocircuitando quei terminali e calcolando la corrente risultante.
3. Trova $R_N$ guardando all’interno della rete con le sorgenti di tensione indipendenti sostituite da cortocircuiti e le sorgenti di corrente indipendenti sostituite da circuiti aperti.
4. Se il circuito contiene sorgenti dipendenti, non limitarti a spegnere tutto. Usa una sorgente di prova per trovare la resistenza efficace.
5. Disegna l’equivalente di Norton e ricollega il carico.

Esempio svolto con numeri

Supponi che la rete originale sia già nota in forma di Thevenin: una sorgente ideale da $12 \, \text{V}$ in serie con un resistore da $6 \, \Omega$. Trova l’equivalente di Norton, poi collega un carico da $3 \, \Omega$.

Inizia con la corrente della sorgente:

$$I_N = \frac{V_{TH}}{R_{TH}} = \frac{12}{6} = 2 \, \text{A}$$

Quindi il circuito di Norton è una sorgente di corrente da $2 \, \text{A}$ in parallelo con

$$R_N = 6 \, \Omega$$

Ora collega il carico $R_L = 3 \, \Omega$. La sorgente, il ramo da $6 \, \Omega$ e il carico da $3 \, \Omega$ sono tutti in parallelo, quindi per prima cosa combina i due resistori:

$$R_{eq} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = 2 \, \Omega$$

La tensione ai capi di entrambi i rami è quindi

$$V = I_N R_{eq} = (2)(2) = 4 \, \text{V}$$

Poiché il carico ha la stessa tensione di $4 \, \text{V}$ ai suoi capi, la corrente nel carico è

$$I_L = \frac{V}{R_L} = \frac{4}{3} \, \text{A}$$

Questo coincide con il comportamento del carico nel circuito originale. È proprio questo il punto del teorema di Norton: forme interne diverse, stesso comportamento ai terminali.

Errori comuni degli studenti

Un errore comune è trovare $R_N$ dal circuito attivo senza specificare cosa succede alle sorgenti indipendenti. In questo passaggio, le sorgenti di tensione indipendenti diventano cortocircuiti e le sorgenti di corrente indipendenti diventano circuiti aperti.

Un altro errore è pensare che la forma di Norton funzioni per qualsiasi circuito. Il teorema standard si applica a reti lineari a due terminali. Se il circuito è non lineare, lo stesso semplice equivalente potrebbe non valere in ogni condizione di funzionamento.

Un terzo errore è confondere la corrente della sorgente con la corrente del carico. In un circuito di Norton, la sorgente di corrente alimenta l’intera rete in parallelo, e la corrente del carico è solo la corrente di uno dei rami.

Quando il teorema di Norton è utile

Il teorema di Norton è utile quando il carico cambia e vuoi ricalcolare rapidamente la corrente in un ramo. Aiuta anche quando semplifichi una parte di un circuito più grande o quando la divisione di corrente è più naturale della divisione di tensione.

È anche il complemento naturale del teorema di Thevenin. Le due forme contengono le stesse informazioni ai terminali, ma una delle due può rendere un calcolo specifico più rapido.

Prova un problema simile

Prova una tua versione con una sorgente di Norton da $5 \, \text{A}$ in parallelo con $10 \, \Omega$, poi collega un carico da $15 \, \Omega$. Trova prima la tensione ai terminali, poi la corrente nel carico. Dopo, converti lo stesso circuito in forma di Thevenin e verifica che il risultato sul carico resti lo stesso.