Μέτρο ελαστικότητας Young — Τάση, Παραμόρφωση & Ελαστικότητα

Το μέτρο ελαστικότητας Young δείχνει πόσο άκαμπτο είναι ένα υλικό όταν το εφελκύεις ή το θλίβεις. Στη γραμμικά ελαστική περιοχή, είναι ο λόγος της τάσης προς την παραμόρφωση:

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$$

Εδώ, η $\sigma$ είναι η ορθή τάση και η $\epsilon$ είναι η ορθή παραμόρφωση. Αν δύο υλικά βρίσκονται υπό την ίδια τάση, εκείνο με το μεγαλύτερο $E$ μεταβάλλει λιγότερο το μήκος του.

Αυτή είναι η βασική ιδέα: το μέτρο ελαστικότητας Young μετρά την ακαμψία, όχι την αντοχή. Δείχνει πόσο παραμορφώνεται ένα υλικό όσο ακόμη επιστρέφει στο αρχικό του σχήμα μετά την αφαίρεση του φορτίου.

Τι Σημαίνουν Τάση, Παραμόρφωση Και Ελαστικότητα

Η τάση είναι η δύναμη κατανεμημένη σε επιφάνεια:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

Η παραμόρφωση είναι η κλασματική μεταβολή του μήκους:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

Ελαστικότητα σημαίνει ότι το υλικό επιστρέφει περίπου στο αρχικό του σχήμα μετά την αφαίρεση του φορτίου. Το μέτρο ελαστικότητας Young συνδέει την τάση με την παραμόρφωση μόνο όταν το υλικό βρίσκεται στη γραμμικά ελαστική περιοχή, όπου η τάση είναι περίπου ανάλογη της παραμόρφωσης.

Για μια ομοιόμορφη ράβδο υπό αξονική φόρτιση, ο συνδυασμός των ορισμών δίνει:

$$E = \frac{F/A}{\Delta L/L_0}$$

Αναδιατάσσοντας, παίρνουμε έναν πρακτικό τύπο για την επιμήκυνση:

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

Χρησιμοποίησε αυτή τη μορφή μόνο όταν η ράβδος έχει ομοιόμορφη διατομή και η φόρτιση είναι κυρίως κατά μήκος του άξονά της.

Διαίσθηση: Το Μέτρο Young Είναι Η Κλίση Του Ευθύγραμμου Τμήματος

Το μέτρο ελαστικότητας Young είναι η κλίση του ευθύγραμμου τμήματος σε ένα διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης. Μεγάλη κλίση σημαίνει ότι χρειάζεται πολλή τάση για να προκληθεί μικρή παραμόρφωση, άρα το υλικό είναι άκαμπτο. Μικρή κλίση σημαίνει ότι το υλικό παραμορφώνεται πιο εύκολα.

Γι' αυτό ο χάλυβας και το καουτσούκ φαίνονται τόσο διαφορετικά. Για την ίδια τάση, ο χάλυβας συνήθως αλλάζει μήκος κατά πολύ μικρότερο ποσοστό από το καουτσούκ.

Λυμένο Παράδειγμα: Πόσο Επιμηκύνεται Μια Ράβδος;

Έστω ότι μια μεταλλική ράβδος έχει

• $L_0 = 2.0\ \mathrm{m}$
• $A = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• $E = 2.0 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$
• $F = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N}$

Να βρεθεί η επιμήκυνση $\Delta L$.

Ξεκινάμε από

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$

Αντικαθιστούμε τις τιμές:

$$\Delta L = \frac{(1.0 \times 10^4)(2.0)}{(1.0 \times 10^{-4})(2.0 \times 10^{11})}$$ $$\Delta L = \frac{2.0 \times 10^4}{2.0 \times 10^7} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

Άρα η ράβδος επιμηκύνεται κατά

$$1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 1.0\ \mathrm{mm}$$

Αυτή η μικρή επιμήκυνση είναι το ουσιαστικό σημείο. Ένα υλικό με μεγάλο μέτρο ελαστικότητας Young μπορεί να δέχεται μεγάλη δύναμη και παρ' όλα αυτά να επιμηκύνεται ελάχιστα, αρκεί να παραμένει στην ελαστική περιοχή.

Συνηθισμένα Λάθη Στο Μέτρο Ελαστικότητας Young

Να θεωρείς την ακαμψία και την αντοχή το ίδιο πράγμα

Το μέτρο ελαστικότητας Young δεν δείχνει τη μέγιστη τάση που μπορεί να αντέξει ένα υλικό. Δείχνει πόσο παραμορφώνεται το υλικό πριν καν τεθεί αυτό το είδος ερωτήματος για αστοχία.

Χρήση του $E = \sigma/\epsilon$ έξω από την ελαστική περιοχή

Αν η καμπύλη τάσης-παραμόρφωσης έχει ήδη παρεκκλίνει από την ευθεία, μία σταθερή τιμή του $E$ δεν περιγράφει πλέον όλη τη συμπεριφορά με τον ίδιο απλό τρόπο.

Να ξεχνάς ότι η παραμόρφωση είναι λόγος, όχι μήκος

Η παραμόρφωση δεν είναι απλώς το $\Delta L$. Είναι το $\Delta L/L_0$, άρα το αρχικό μήκος έχει σημασία.

Ανάμειξη μονάδων, ιδιαίτερα για το εμβαδό

Πολλά λανθασμένα αποτελέσματα προκύπτουν όταν το εμβαδό μένει σε $\mathrm{mm^2}$ ενώ η τάση δίνεται σε πασκάλ. Αφού $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$, το εμβαδό πρέπει να είναι στις αντίστοιχες μονάδες.

Πού Χρησιμοποιείται Το Μέτρο Ελαστικότητας Young

Το μέτρο ελαστικότητας Young χρησιμοποιείται όταν η παραμόρφωση έχει σημασία. Εμφανίζεται σε προβλήματα με ράβδους, σύρματα και δομικά στοιχεία, όπου το πρώτο ερώτημα συχνά δεν είναι «Θα σπάσει;» αλλά «Θα επιμηκυνθεί ή θα συμπιεστεί υπερβολικά;»

Εμφανίζεται επίσης μέσα σε πιο σύνθετα μοντέλα. Σε τύπους κάμψης δοκών και λυγισμού, για παράδειγμα, το $E$ βοηθά να καθοριστεί πόσο έντονα μια κατασκευή αντιστέκεται στην κάμψη ή στην ελαστική αστάθεια.

Δοκίμασε Ένα Παρόμοιο Πρόβλημα

Κράτησε την ίδια ράβδο, αλλά διπλασίασε το εμβαδό της διατομής. Πριν υπολογίσεις, πρόβλεψε τι θα συμβεί στο $\Delta L$. Έπειτα κάνε την ίδια σύγκριση αλλάζοντας μόνο το $E$ και αναρωτήσου ποιο υλικό θα φαινόταν πιο άκαμπτο για το ίδιο φορτίο.