Τύπος βέλους κάμψης δοκού

Ο τύπος για το βέλος κάμψης δοκού δείχνει πόσο λυγίζει μια δοκός υπό φορτίο. Αν έψαξες τον τύπο για το βέλος κάμψης δοκού, το βασικό σημείο είναι το εξής: δεν υπάρχει ένας μόνο τύπος για κάθε δοκό. Η σωστή έκφραση εξαρτάται από τις συνθήκες στήριξης, την κατανομή του φορτίου και την καμπτική ακαμψία $E I$.

Μία από τις πιο συνηθισμένες περιπτώσεις είναι μια δοκός πρόβολος με σημειακό φορτίο στο ελεύθερο άκρο:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Αυτός ο τύπος είναι χρήσιμος μόνο όταν αντιστοιχεί ακριβώς σε αυτή την περίπτωση δοκού και όταν οι συνήθεις παραδοχές μικρών παραμορφώσεων και γραμμικής ελαστικότητας είναι λογικές.

Από τι εξαρτάται το βέλος κάμψης δοκού

Η φυσική ιδέα είναι απλή. Τα φορτία δημιουργούν καμπτικές ροπές και η δοκός αντιστέκεται σε αυτή την κάμψη μέσω του $E I$.

• Το $E$ είναι το μέτρο ελαστικότητας Young, άρα δείχνει πόσο άκαμπτο είναι το ίδιο το υλικό.
• Το $I$ είναι η δεύτερη ροπή επιφάνειας, άρα δείχνει πώς η διατομή αντιστέκεται στην κάμψη ως προς έναν επιλεγμένο άξονα.
• Το $E I$ ονομάζεται καμπτική ακαμψία.

Για μια δοκό Euler-Bernoulli με μικρές κλίσεις, η καμπυλότητα συνδέεται με την καμπτική ροπή μέσω της σχέσης

$$\kappa(x) = \frac{M(x)}{E I}$$

μέχρι συμβάσεως προσήμου. Γι’ αυτό οι τύποι για το βέλος κάμψης δοκού ακολουθούν όλοι το ίδιο μοτίβο: μεγαλύτερες ροπές προκαλούν μεγαλύτερη κάμψη, ενώ μεγαλύτερο $E I$ τη μειώνει.

Ένας συνηθισμένος τύπος βέλους κάμψης δοκού: πρόβολος με φορτίο στο άκρο

Για μια δοκό πρόβολο μήκους $L$ με σημειακό φορτίο $P$ στο ελεύθερο άκρο, το μέγιστο βέλος κάμψης εμφανίζεται στην άκρη και έχει μέτρο

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Εδώ,

• το $P$ είναι το εφαρμοζόμενο φορτίο
• το $L$ είναι το μήκος της δοκού
• το $E$ είναι το μέτρο ελαστικότητας Young
• το $I$ είναι η δεύτερη ροπή επιφάνειας

Χρησιμοποίησε αυτόν τον τύπο μόνο αν οι παρακάτω συνθήκες ταιριάζουν στο πρόβλημα:

• η δοκός είναι πακτωμένη στο ένα άκρο και ελεύθερη στο άλλο
• το φορτίο εφαρμόζεται στο ελεύθερο άκρο
• το υλικό παραμένει στη γραμμικά ελαστική περιοχή
• τα βέλη κάμψης και οι κλίσεις είναι αρκετά μικρά ώστε η θεωρία δοκών να αποτελεί καλή προσέγγιση
• η δοκός είναι αρκετά λεπτή ώστε η θεωρία Euler-Bernoulli να είναι λογική
• η διατμητική παραμόρφωση παραλείπεται

Ο όρος $L^3$ είναι το σημείο που αξίζει να προσέξεις. Αν όλα τα άλλα μείνουν ίδια και το μήκος διπλασιαστεί, το βέλος στο άκρο γίνεται $2^3 = 8$ φορές μεγαλύτερο.

Λυμένο παράδειγμα με αριθμούς

Έστω ότι μια δοκός πρόβολος έχει

• $P = 120\ \mathrm{N}$
• $L = 1.5\ \mathrm{m}$
• $E = 200 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$
• $I = 4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^4}$

Χρησιμοποίησε τον τύπο για πρόβολο με φορτίο στο άκρο:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Κάνε αντικατάσταση των τιμών και κράτησε μονάδες SI σε όλα τα βήματα:

$$\delta_{max} = \frac{120(1.5)^3}{3(200 \times 10^9)(4.0 \times 10^{-6})}$$

Αφού $(1.5)^3 = 3.375$, αυτό γίνεται

$$\delta_{max} = \frac{405}{2.4 \times 10^6}\ \mathrm{m}$$ $$\delta_{max} \approx 1.69 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

Άρα το βέλος στο άκρο είναι

$$0.000169\ \mathrm{m} = 0.169\ \mathrm{mm}$$

Αυτό είναι πολύ μικρό σε σύγκριση με άνοιγμα $1.5\ \mathrm{m}$, οπότε η παραδοχή μικρών παραμορφώσεων είναι τουλάχιστον εύλογη σε αυτό το παράδειγμα.

Συνηθισμένα λάθη με τους τύπους βέλους κάμψης δοκού

Αντιμετώπιση ενός τύπου ως καθολικού

Ο τύπος για πρόβολο με φορτίο στο άκρο δεν εφαρμόζεται σε αμφιέρειστη δοκό, σε ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο ή σε δοκό με διαφορετικές συνθήκες στήριξης. Η σωστή έκφραση αλλάζει ανάλογα με τη διάταξη.

Σύγχυση με το $I$

Εδώ, το $I$ σημαίνει τη δεύτερη ροπή επιφάνειας της διατομής. Δεν είναι το ηλεκτρικό ρεύμα και δεν είναι η ροπή αδράνειας μάζας.

Παράβλεψη των μονάδων

Οι τύποι δοκών είναι πολύ ευαίσθητοι στις μονάδες, επειδή το $I$ συχνά έχει μονάδες $\mathrm{m^4}$ ή $\mathrm{mm^4}$. Μια ασυμφωνία μονάδων μπορεί να αλλάξει την απάντηση κατά παράγοντα εκατομμυρίων.

Χρήση του τύπου έξω από τις παραδοχές του

Αν τα βέλη κάμψης είναι μεγάλα, το υλικό διαρρέει, η δοκός δεν είναι λεπτή ή το $E I$ αλλάζει κατά μήκος του ανοίγματος, ένας απλός τύπος βιβλίου μπορεί να μην είναι πλέον αξιόπιστος.

Πότε χρησιμοποιείται ο τύπος βέλους κάμψης δοκού

Οι τύποι βέλους κάμψης δοκού χρησιμοποιούνται όταν σε ενδιαφέρει η ακαμψία και όχι μόνο η αντοχή. Μια δοκός μπορεί να είναι αρκετά ανθεκτική ώστε να μη σπάσει και παρ’ όλα αυτά να κάμπτεται υπερβολικά για την εφαρμογή της.

Αυτό έχει σημασία σε κατασκευές, εξαρτήματα μηχανών, εργαστηριακές διατάξεις, ράφια και μακριά δομικά στοιχεία όπου η ευθυγράμμιση ή η λειτουργικότητα είναι σημαντικές. Στην πράξη, οι μηχανικοί συχνά ελέγχουν τόσο τις τάσεις όσο και το βέλος κάμψης, επειδή αυτά είναι διαφορετικά σχεδιαστικά όρια.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Κράτησε το ίδιο παράδειγμα προβόλου και διπλασίασε μόνο το μήκος $L$. Πρόβλεψε το νέο βέλος στο άκρο από τον όρο $L^3$ πριν το υπολογίσεις. Έπειτα δοκίμασε διαφορετικές συνθήκες στήριξης ή διαφορετικό τύπο φορτίου και σύγκρινε ποια μέρη του τύπου αλλάζουν.