Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου

Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο ίσες πλευρές. Η βασική ιδιότητα είναι απλή: οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι από αυτές τις ίσες πλευρές είναι ίσες, άρα οι δύο γωνίες της βάσης είναι ίσες. Αν φέρεις και το ύψος από την πάνω κορυφή προς τη βάση, το τρίγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα, κάτι που κάνει πολλά προβλήματα γεωμετρίας πιο εύκολα.

Ποιες ιδιότητες έχει ένα ισοσκελές τρίγωνο

Έστω ότι το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB = AC$. Τότε η πλευρά $BC$ είναι η βάση και οι γωνίες βάσης στα $B$ και $C$ είναι ίσες.

Ένα δεύτερο χρήσιμο γεγονός εξαρτάται από ένα συγκεκριμένο ευθύγραμμο τμήμα. Αν φέρεις κάθετη από το $A$ προς τη βάση $BC$, αυτό το τμήμα:

1. Είναι ύψος, επειδή συναντά τη βάση υπό γωνία $90^\circ$.
2. Είναι διάμεσος προς τη βάση, επειδή χωρίζει το $BC$ σε δύο ίσα μέρη.
3. Διχοτομεί τη γωνία κορυφής στο $A$.

Αυτές οι επιπλέον ιδιότητες προκύπτουν από τη συμμετρία. Δεν ισχύουν για κάθε ύψος σε κάθε τρίγωνο.

Γιατί το ύψος βοηθά τόσο πολύ

Το ύψος μετατρέπει ένα ισοσκελές τρίγωνο σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα. Αυτό σημαίνει ότι μπορείς να χρησιμοποιήσεις ιδέες από τα ορθογώνια τρίγωνα, ιδιαίτερα το Πυθαγόρειο θεώρημα, αντί να δουλεύεις με ολόκληρο το τρίγωνο ταυτόχρονα.

Αυτό ισχύει μόνο όταν το ύψος φέρεται από την κορυφή ανάμεσα στις ίσες πλευρές προς τη βάση. Αν σχεδιάσεις κάποιο άλλο τμήμα, δεν πρέπει να υποθέσεις ότι έχει και τους τρεις παραπάνω ρόλους.

Λυμένο παράδειγμα: Βρες το ύψος και το εμβαδό

Έστω ότι ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει μήκη πλευρών $5$, $5$ και $6$.

Οι ίσες πλευρές είναι $5$ και $5$, άρα η βάση είναι $6$. Φέρε το ύψος από την κορυφή προς τη βάση. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, αυτό το ύψος χωρίζει τη βάση σε δύο ίσα μέρη, οπότε κάθε μισό είναι $3$.

Τώρα χρησιμοποίησε ένα από τα ορθογώνια τρίγωνα. Έστω ότι το ύψος είναι $h$. Τότε:

$$h^2 + 3^2 = 5^2$$ $$h^2 + 9 = 25$$ $$h^2 = 16$$ $$h = 4$$

Άρα το ύψος είναι $4$. Τώρα χρησιμοποίησε τον τύπο για το εμβαδό τριγώνου:

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(6)(4) = 12$$

Το εμβαδό είναι $12$ τετραγωνικές μονάδες.

Μια συνηθισμένη αντίστροφη πρόταση

Η αντίστροφη ιδέα είναι επίσης σημαντική. Αν δύο γωνίες σε ένα τρίγωνο είναι ίσες, τότε οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από αυτές τις γωνίες είναι ίσες, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Αυτή η αντίστροφη πρόταση εμφανίζεται συχνά σε αποδείξεις. Μερικές φορές ένα πρόβλημα δίνει πρώτα πληροφορίες για γωνίες και περιμένει να συμπεράνεις ότι δύο πλευρές πρέπει να είναι ίσες.

Συνηθισμένα λάθη στα ισοσκελή τρίγωνα

1. Να υποθέτεις ότι οποιοδήποτε ύψος σε οποιοδήποτε τρίγωνο χωρίζει την απέναντι πλευρά στη μέση.
2. Να μπερδεύεις ποιες γωνίες είναι ίσες. Οι ίσες γωνίες βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές.
3. Να χρησιμοποιείς την ιδιότητα του ύψους χωρίς να ελέγχεις ότι το τρίγωνο είναι πράγματι ισοσκελές.
4. Να ξεχνάς ότι ορισμένα σχολικά βιβλία ορίζουν το ισοσκελές ως τρίγωνο με τουλάχιστον δύο ίσες πλευρές, κάτι που περιλαμβάνει και το ισόπλευρο τρίγωνο.

Πότε χρησιμοποιείς αυτές τις ιδιότητες

Οι ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου εμφανίζονται σε αποδείξεις γεωμετρίας, στην αναλυτική γεωμετρία και σε προβλήματα εμβαδού ή ύψους όπου η συμμετρία εξοικονομεί χρόνο. Το συνηθισμένο μοτίβο είναι να εντοπίσεις τις ίσες πλευρές, να ταυτίσεις τις γωνίες βάσης και έπειτα να φέρεις το ύψος αν χρειάζεσαι μια πιο καθαρή διάταξη.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με μήκη πλευρών $13$, $13$ και $10$. Φέρε το ύψος, βρες το ύψος και μετά βρες το εμβαδό. Αν θέλεις ένα παρόμοιο επόμενο βήμα, εξερεύνησε το Πυθαγόρειο θεώρημα ή το εμβαδό τριγώνου και σύγκρινε πώς εμφανίζεται εκεί η ίδια ιδέα του ορθογώνιου τριγώνου.