Abstandsformel — Zwischen zwei Punkten in 2D & 3D

Die Abstandsformel gibt den geradlinigen Abstand zwischen zwei Punkten in einer Koordinatenebene oder im 3D-Raum an. Für die Punkte $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$ in 2D gilt:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Für die Punkte $(x_1, y_1, z_1)$ und $(x_2, y_2, z_2)$ in 3D gilt:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Verwende diese Formel, wenn du die tatsächliche Länge zwischen zwei Punkten suchst und nicht nur die horizontale oder vertikale Änderung. Sie gilt in einem normalen kartesischen Koordinatensystem, wenn auf allen Achsen dieselbe Einheitenskala verwendet wird.

Abstandsformel in 2D: Was sie misst

Die Formel kombiniert zwei senkrechte Änderungen: wie weit du dich in $x$-Richtung und wie weit du dich in $y$-Richtung bewegst. Diese Änderungen bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, und der Abstand zwischen den Punkten ist die Hypotenuse.

Warum die Abstandsformel funktioniert

In der Ebene folgt die Abstandsformel direkt aus dem Satz des Pythagoras. Wenn

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

und

$$\Delta y = y_2 - y_1$$

dann gilt

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$

also

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

Die Formel ist also keine eigene Regel, die man auswendig lernen muss. Sie ist der Satz des Pythagoras in Koordinatenform.

In 3D kommt einfach noch eine weitere senkrechte Änderung dazu:

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$$

Das ist dieselbe Idee, nur auf eine weitere Dimension erweitert.

Durchgerechnetes Beispiel: Abstand zwischen zwei Punkten

Bestimme den Abstand zwischen $(1, 2)$ und $(5, 7)$.

Beginne mit der Abstandsformel in 2D:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Setze die Koordinaten ein:

$$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 2)^2}$$

Vereinfache die Differenzen:

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2}$$

Quadriere und addiere:

$$d = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$

Der exakte Abstand ist also $\sqrt{41}$. Als Dezimalzahl gilt $d \approx 6.4$.

Eine kurze Kontrolle hilft. Die Punkte liegen horizontal $4$ Einheiten und vertikal $5$ Einheiten auseinander, also sollte der geradlinige Abstand größer als $5$, aber kleiner als $9$ sein. $\sqrt{41}$ passt dazu.

Abstandsformel in 3D

Der Aufbau ist derselbe, aber jetzt berücksichtigst du auch die Änderung in $z$.

Zum Beispiel sind zwischen $(1, 2, 3)$ und $(5, 7, 6)$ die Koordinatenänderungen $4$, $5$ und $3$, also

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$$

Die Methode ändert sich nicht. Du subtrahierst passende Koordinaten, quadrierst die Differenzen, addierst sie und ziehst die positive Quadratwurzel.

Häufige Fehler bei der Abstandsformel

1. Vor dem Subtrahieren quadrieren. Die Formel verwendet $(x_2 - x_1)^2$, nicht $x_2^2 - x_1^2$.
2. Die Quadratwurzel vergessen. Wenn du nach dem Addieren der Quadrate aufhörst, hast du $d^2$ berechnet, nicht $d$.
3. Achsen verwechseln. Eine $x$-Koordinate muss mit der anderen $x$-Koordinate zusammenpassen, und genauso ist es bei $y$ und $z$.
4. Beim Einsetzen ein Minuszeichen verlieren. Zum Beispiel ist $-1 - 3 = -4$ und nicht $4$.
5. Die Formel verwenden, obwohl das Diagramm keinen normalen kartesischen Abstand zeigt. Wenn die Achsen unterschiedliche Skalen haben, ändert sich der geometrische Abstand.

Wann du die Abstandsformel verwendest

Du verwendest die Abstandsformel in der analytischen Geometrie immer dann, wenn zwei Punkte gegeben sind und nach der Länge der Strecke zwischen ihnen gefragt wird.

Typische Fälle sind das Bestimmen von Seitenlängen in einem Koordinatensystem, das Prüfen, ob ein Punkt auf einem Kreis liegt, das Vergleichen von Abständen zu einem Mittelpunkt und das Messen geradliniger Entfernung in der 3D-Geometrie.

Kurzer Check, bevor du dem Ergebnis vertraust

Stelle dir zwei Fragen:

1. Habe ich zuerst subtrahiert und dann quadriert?
2. Ist der endgültige Abstand im Vergleich zu den Koordinatenänderungen von sinnvoller Größe?

Mit diesen beiden Kontrollen findest du die meisten Fehler schnell.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen $(-2, 3)$ und $(4, -1)$ in 2D. Vergleiche dann deinen Ansatz mit der Mittelpunktsformel, um den Unterschied zwischen dem Berechnen einer Länge und dem Bestimmen eines Punktes in der Mitte der Strecke zu sehen.