Steigung berechnen

Um die Steigung zu berechnen, teilst du die Änderung in $y$ durch die Änderung in $x$. Wenn du zwei Punkte kennst, verwendest du die Steigungsformel

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

solange $x_2 \ne x_1$ gilt. Das ist dieselbe Idee wie Anstieg durch Lauf: wie stark die Gerade nach oben oder unten geht im Vergleich dazu, wie weit sie nach rechts verläuft.

Die Steigung zeigt, wie schnell sich eine Gerade ändert. Eine positive Steigung bedeutet, dass die Gerade von links nach rechts steigt, eine negative Steigung bedeutet, dass sie fällt, und eine Steigung von $0$ bedeutet, dass die Gerade waagerecht ist.

Wenn $x_2 - x_1 = 0$, ist die Gerade vertikal. In diesem Fall ist die Steigung nicht definiert, weil die Formel eine Division durch $0$ erfordern würde.

Was die Steigung bedeutet

Die Steigung ist eine Änderungsrate. Sie vergleicht, wie stark sich $y$ ändert, mit der Änderung von $x$.

Deshalb taucht die Steigung in der Algebra, in Graphen und in Datentabellen auf. Dieselbe Idee funktioniert überall dort, wo sich eine Beziehung mit konstanter Rate ändert.

So berechnest du die Steigung aus zwei Punkten

Verwende im Zähler und im Nenner dieselbe Subtraktionsreihenfolge:

1. Wähle die zwei Punkte.
2. Subtrahiere die $y$-Werte, um die Änderung in $y$ zu erhalten.
3. Subtrahiere die $x$-Werte in derselben Reihenfolge, um die Änderung in $x$ zu erhalten.
4. Teile.
5. Vereinfache, wenn möglich.

Wenn du beide Subtraktionsreihenfolgen umdrehst, bleibt die Steigung gleich. Wenn du nur eine davon umdrehst, ist das Vorzeichen falsch.

Gerechnetes Beispiel: Die Steigung zwischen zwei Punkten bestimmen

Bestimme die Steigung der Geraden durch $(2, 3)$ und $(5, 9)$.

Beginne mit der Formel:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Setze die Koordinaten in derselben Reihenfolge ein:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

Die Steigung ist $2$. Das bedeutet: Jedes Mal, wenn $x$ um $1$ zunimmt, nimmt $y$ um $2$ zu.

Du kannst das auch als Anstieg durch Lauf lesen. Von $(2, 3)$ nach $(5, 9)$ geht die Gerade $6$ nach oben und $3$ nach rechts, also ist die Steigung $6/3 = 2$.

So berechnest du die Steigung aus einem Graphen

Wähle zwei gut erkennbare Gitterpunkte auf der Geraden. Zähle zuerst die vertikale Änderung und dann die horizontale Änderung.

Wenn du $4$ nach oben und $2$ nach rechts gehst, ist die Steigung

$$\frac{4}{2} = 2$$

Wenn du $3$ nach unten und $1$ nach rechts gehst, ist die Steigung

$$\frac{-3}{1} = -3$$

Wenn du Schnittpunkte des Gitters verwendest, vermeidest du leichter Zählfehler.

So berechnest du die Steigung aus einer Tabelle

Eine Tabelle liefert nur dann eine Steigung, wenn die Änderungsrate konstant ist. Wähle zwei Zeilen und berechne

$$\frac{\text{Änderung in } y}{\text{Änderung in } x}$$

Wenn du bei verschiedenen Zeilenpaaren denselben Wert erhältst, ist die Beziehung linear und dieser konstante Wert ist die Steigung.

Wenn zum Beispiel $x$ von $1$ auf $3$ steigt und $y$ gleichzeitig von $4$ auf $10$ steigt, dann gilt

$$m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Häufige Fehler beim Berechnen der Steigung

Ein häufiger Fehler ist das Subtrahieren in unterschiedlicher Reihenfolge. Wenn du $y_2 - y_1$ verwendest, musst du auch $x_2 - x_1$ verwenden.

Ein weiterer Fehler ist, der Steigung einer vertikalen Geraden den Wert $0$ zu geben. Wenn zwei Punkte denselben $x$-Wert haben, ist der Nenner $0$, also ist die Steigung nicht definiert.

Ein dritter Fehler ist die Annahme, dass jede Tabelle eine Steigung hat. Eine Tabelle hat nur dann eine einzige Steigung, wenn die Änderungsrate konstant bleibt.

Wann die Steigung verwendet wird

Die Steigung wird immer dann verwendet, wenn du beschreiben willst, wie sich eine Größe im Vergleich zu einer anderen ändert. Du siehst sie beim Zeichnen von Geraden, beim Aufstellen linearer Gleichungen, in Physikformeln mit konstanten Raten und in Datentabellen mit linearem Muster.

Probiere deine eigene Version

Bestimme die Steigung zwischen $(1, -2)$ und $(4, 7)$. Schreibe den Subtraktionsschritt auf, bevor du vereinfachst, und entscheide dann, ob die Gerade steigt oder fällt, wenn $x$ zunimmt.

Wenn du noch einen weiteren Fall möchtest, probiere deine eigene Version mit zwei neuen Punkten aus und prüfe vor dem Teilen, ob der Nenner ungleich null bleibt.