Restsatz — Aussage, Beweis & Beispiele

Mit dem Restsatz kannst du den Rest eines Polynoms finden, ohne eine Polynomdivision durchführen zu müssen. Wenn du $P(x)$ durch $x-a$ teilst, ist der Rest $P(a)$.

Das funktioniert nur, wenn der Divisor in der Form $x-a$ geschrieben ist. Bei $x-3$ verwendest du $a=3$. Bei $x+2$ verwendest du $a=-2$.

Aussage des Restsatzes

Wenn ein Polynom $P(x)$ durch $x-a$ geteilt wird, dann gilt

$$\text{Rest} = P(a)$$

Das ist die ganze Aussage des Satzes. Aus einer Divisionsaufgabe wird eine Einsetzungsaufgabe.

Warum der Rest $P(a)$ ist

Wenn du ein Polynom $P(x)$ durch einen linearen Ausdruck $x-a$ teilst, sagt der Divisionsalgorithmus:

$$P(x) = (x-a)Q(x) + r$$

Dabei ist $Q(x)$ der Quotient und $r$ der Rest. Weil der Divisor den Grad $1$ hat, muss der Rest einen Grad kleiner als $1$ haben, also ist $r$ einfach eine Konstante.

Setze nun $x=a$ ein:

$$P(a) = (a-a)Q(a) + r = 0 + r = r$$

Also ist der Rest $P(a)$.

Durchgerechnetes Beispiel: Division durch $x-2$

Bestimme den Rest, wenn

$$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$

durch $x-2$ geteilt wird.

Weil der Divisor $x-2$ ist, verwendest du $a=2$. Berechne dann $P(2)$:

$$P(2) = 2^3 + 2(2^2) - 5(2) + 1$$ $$= 8 + 8 - 10 + 1 = 7$$

Also ist der Rest

$$7$$

Du brauchst den Quotienten nicht, um diese Aufgabe zu lösen. Sobald du $P(2)$ hast, hast du bereits den Rest.

So verwendest du den Restsatz

Bei den meisten Aufgaben ist das Vorgehen kurz:

1. Schreibe den Divisor in die Form $x-a$ um.
2. Bestimme $a$ korrekt.
3. Berechne $P(a)$.
4. Gib diesen Wert als Rest an.

Wenn $P(a)=0$ ist, dann ist der Rest null. Das bedeutet, dass $x-a$ das Polynom ohne Rest teilt.

Zusammenhang mit dem Faktorsatz

Der Faktorsatz ist eine direkte Folge des Restsatzes.

Wenn

$$P(a)=0$$

gilt, dann ist der Rest bei der Division durch $x-a$ gleich $0$, also ist $x-a$ ein Faktor von $P(x)$.

Der Restsatz gibt dir also in jedem Fall den Rest an, und der Faktorsatz betrachtet den Spezialfall, in dem der Rest null ist.

Häufige Fehler von Schülern

Das falsche Vorzeichen für $a$ verwenden

Bei $x-4$ gilt $a=4$. Bei $x+4$ gilt $a=-4$. Das ist der häufigste Fehler.

Vergessen, dass der Divisor die Form $x-a$ haben muss

Der Satz gilt für Divisoren der Form $x-a$. Wenn der Divisor $2x-3$ ist, kannst du nicht einfach $3$ einsetzen und das den Rest nennen.

Bei einem Divisor wie $2x-3$ setzt du zuerst $2x-3=0$, also ist $x=\frac{3}{2}$. Dann ist der Rest $P\left(\frac{3}{2}\right)$, weil der Rest bei der Division durch ein lineares Polynom weiterhin eine Konstante ist.

Quotient und Rest verwechseln

$P(a)$ liefert nur den Rest. Es liefert nicht den Quotienten.

Wann der Restsatz nützlich ist

Du wirst ihn meistens verwenden, wenn du:

• den Rest eines Polynoms schnell bestimmen willst
• prüfen willst, ob ein linearer Ausdruck ein Faktor sein könnte
• einen Zusammenhang zwischen einem Einsetzungswert und der Horner-Schema-Division herstellen willst
• in einem einfachen Fall eine vollständige Polynomdivision vermeiden willst

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Nimm

$$P(x) = 2x^3 - 3x + 5$$

und bestimme den Rest bei der Division durch $x+1$. Schreibe den Divisor zuerst als $x-(-1)$, damit klar ist, dass du $P(-1)$ berechnen musst. Wenn du dein Ergebnis gut überprüfen willst, vergleiche es mit dem Horner-Schema und achte darauf, dass der Rest übereinstimmt.