Horner-Schema

Das Horner-Schema ist eine Abkürzung, um ein Polynom durch einen linearen Divisor der Form $x-c$ zu teilen. Dabei verwendest du die Koeffizienten statt der vollständigen Polynomdivision, daher ist es schneller, wenn der Divisor genau diese Form hat.

Diese Bedingung ist wichtig. Das Standard-Horner-Schema funktioniert bei Divisoren wie $x-2$ oder $x+5$, denn diese lassen sich als $x-c$ schreiben. Wenn der Divisor nicht diese Form hat, solltest du die Abkürzung nicht erzwingen.

Wann das Horner-Schema funktioniert

Verwende das Horner-Schema, wenn der Divisor linear ist und sich als $x-c$ schreiben lässt. Dazu gehören $x-2$, $x+3$ und $x-\frac{1}{2}$.

Wenn der Divisor $2x-3$ ist, lässt sich die übliche Anordnung nicht direkt anwenden. In diesem Fall verwendest du die Polynomdivision oder formst die Aufgabe sorgfältig um.

Was die Zahlen bedeuten

Angenommen, du teilst ein Polynom $P(x)$ durch $x-c$. Das Horner-Schema macht daraus wiederholte Multiplikations- und Additionsschritte mit der Zahl $c$ und den Koeffizienten von $P(x)$.

Die letzte Zahl ist der Rest. Jede Zahl davor ist ein Koeffizient des Quotienten. Nach dem Restsatz ist diese letzte Zahl außerdem $P(c)$.

So geht das Horner-Schema

So richtest du es ein:

1. Schreibe die Zahl $c$ nach links.
2. Notiere die Koeffizienten des Polynoms in absteigenden Potenzen von $x$.
3. Setze eine Null für jede fehlende Potenz ein.
4. Übernimm den ersten Koeffizienten nach unten.
5. Multipliziere mit $c$, schreibe das Ergebnis unter den nächsten Koeffizienten und addiere.
6. Wiederhole das bis zum Ende.

Wenn ein Term fehlt, ist die Null nicht optional. Sie sorgt dafür, dass jede Potenz korrekt ausgerichtet bleibt.

Beispiel zum Horner-Schema

Teile $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ durch $x-2$.

Da der Divisor $x-2$ ist, verwendest du $c=2$. Die Koeffizienten sind $2$, $-3$, $4$ und $-5$.

Führe nun die Multiplikations- und Additionsschritte aus:

1. Übernimm den ersten Koeffizienten: $2$.
2. Multipliziere $2$ mit $2$ und erhalte $4$, dann addiere zu $-3$ und erhalte $1$.
3. Multipliziere $1$ mit $2$ und erhalte $2$, dann addiere zu $4$ und erhalte $6$.
4. Multipliziere $6$ mit $2$ und erhalte $12$, dann addiere zu $-5$ und erhalte $7$.

Die untere Zeile ist also $2$, $1$, $6$, $7$. Die Koeffizienten des Quotienten sind $2$, $1$ und $6$, und der Rest ist $7$.

Damit ist der Quotient

$$2x^2 + x + 6$$

mit Rest $7$. Also gilt

$$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x-2)(2x^2 + x + 6) + 7$$

und das Divisionsergebnis kann auch so geschrieben werden:

$$\frac{2x^3 - 3x^2 + 4x - 5}{x-2} = 2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x-2}$$

Warum Schüler das Horner-Schema verwenden

Das Horner-Schema ist nützlich, wenn du eine schnellere Methode suchst, um durch $x-c$ zu teilen, einen möglichen Faktor zu testen oder einen Rest schnell zu bestimmen.

Es erscheint oft zusammen mit dem Restsatz und dem Faktorsatz. Wenn der Rest $0$ ist, dann ist $x-c$ ein Faktor des Polynoms.

Häufige Fehler beim Horner-Schema

Das falsche Vorzeichen verwenden

Für einen Divisor $x-2$ verwendest du $2$. Für einen Divisor $x+2$ verwendest du $-2$. Das Vorzeichen ändert sich, weil $x+2 = x-(-2)$.

Fehlende Terme vergessen

Wenn du $x^3 + 5x - 1$ teilst, ist die Koeffizientenliste nicht $1, 5, -1$. Sie ist

$$1,\ 0,\ 5,\ -1$$

weil der Term mit $x^2$ fehlt.

Die Abkürzung beim falschen Divisor verwenden

Die Grundform gilt für $x-c$. Wenn der Divisor zum Beispiel $2x-3$ ist, solltest du nicht einfach $3$ links hinschreiben und wie gewohnt weitermachen. Verwende eine andere Methode, wenn du die angepasste Form nicht kennst.

Vergessen, was die letzte Zahl bedeutet

Die letzte Zahl ist der Rest, nicht ein weiterer Koeffizient des Quotienten.

Wann du es sehen wirst

Das Horner-Schema taucht auf, wenn du:

1. ein Polynom durch $x-c$ teilst
2. prüfst, ob ein linearer Ausdruck ein Faktor ist
3. den Rest $P(c)$ brauchst
4. für diesen Spezialfall eine schnellere Alternative zur Polynomdivision suchst

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Teile $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ mit dem Horner-Schema durch $x-1$. Verwende dann den Rest, um zu entscheiden, ob $x-1$ ein Faktor ist. Wenn du noch einen Fall möchtest, probiere dasselbe Polynom mit $x-2$ und vergleiche die Reste.