나머지정리 — 정리, 증명과 예제

나머지정리를 이용하면 다항식을 긴 나눗셈으로 계산하지 않고도 나머지를 구할 수 있습니다. $P(x)$를 $x-a$로 나누면 나머지는 $P(a)$입니다.

이 정리는 나누는 식이 $x-a$ 꼴일 때만 바로 적용됩니다. $x-3$이면 $a=3$을 쓰고, $x+2$이면 $a=-2$를 씁니다.

나머지정리의 내용

다항식 $P(x)$를 $x-a$로 나누면

$$\text{remainder} = P(a)$$

가 됩니다.

이것이 나머지정리의 핵심입니다. 나눗셈 문제를 대입 문제로 바꿔 주는 정리입니다.

왜 나머지가 $P(a)$인가?

다항식 $P(x)$를 일차식 $x-a$로 나누면, 다항식의 나눗셈 알고리즘에 따라

$$P(x) = (x-a)Q(x) + r$$

라고 쓸 수 있습니다. 여기서 $Q(x)$는 몫이고 $r$은 나머지입니다. 나누는 식의 차수가 $1$이므로 나머지의 차수는 $1$보다 작아야 해서, $r$은 상수입니다.

이제 $x=a$를 대입하면

$$P(a) = (a-a)Q(a) + r = 0 + r = r$$

가 됩니다.

따라서 나머지는 $P(a)$입니다.

풀이 예제: $x-2$로 나눌 때

다음과 같은

$$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$

를 $x-2$로 나눌 때의 나머지를 구해 봅시다.

나누는 식이 $x-2$이므로 $a=2$를 사용합니다. 이제 $P(2)$를 계산하면

$$P(2) = 2^3 + 2(2^2) - 5(2) + 1$$ $$= 8 + 8 - 10 + 1 = 7$$

입니다.

따라서 나머지는

$$7$$

입니다.

이 문제에서는 몫을 구할 필요가 없습니다. $P(2)$만 구하면 이미 나머지를 구한 것입니다.

나머지정리 사용 방법

대부분의 문제에서는 과정이 짧습니다.

1. 나누는 식을 $x-a$ 꼴로 봅니다.
2. $a$의 값을 부호에 주의해서 정확히 찾습니다.
3. $P(a)$를 계산합니다.
4. 그 값을 나머지라고 답합니다.

만약 $P(a)=0$이면 나머지는 $0$이고, 이는 $x-a$가 그 다항식을 정확히 나눈다는 뜻입니다.

인수정리와의 관계

인수정리는 나머지정리에서 바로 따라 나오는 결과입니다.

만약

$$P(a)=0$$

이면 $x-a$로 나눌 때의 나머지가 $0$이므로, $x-a$는 $P(x)$의 인수입니다.

즉, 나머지정리는 모든 경우의 나머지를 알려 주고, 인수정리는 그중에서도 나머지가 $0$인 특별한 경우에 초점을 맞춥니다.

학생들이 자주 하는 실수

$a$의 부호를 잘못 쓰는 경우

$x-4$이면 $a=4$이고, $x+4$이면 $a=-4$입니다. 이것이 가장 흔한 실수입니다.

나누는 식이 반드시 $x-a$ 꼴이어야 한다는 점을 놓치는 경우

이 정리는 나누는 식이 $x-a$ 꼴일 때 서술됩니다. 나누는 식이 $2x-3$이라면, 그냥 $3$을 대입하고 그것을 나머지라고 하면 안 됩니다.

$2x-3$ 같은 식에서는 먼저 $2x-3=0$으로 두어 $x=\frac{3}{2}$를 구합니다. 그러면 나머지는 $P\left(\frac{3}{2}\right)$입니다. 일차다항식으로 나눌 때 나머지는 여전히 상수이기 때문입니다.

몫과 나머지를 혼동하는 경우

$P(a)$가 알려 주는 것은 나머지뿐입니다. 몫을 알려 주는 것은 아닙니다.

나머지정리가 유용한 경우

보통 다음과 같은 상황에서 자주 사용합니다.

• 다항식의 나머지를 빠르게 구하고 싶을 때
• 일차식이 인수인지 확인하고 싶을 때
• 대입값과 조립제법의 관계를 이해하고 싶을 때
• 간단한 경우에 다항식의 긴 나눗셈을 피하고 싶을 때

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음

$$P(x) = 2x^3 - 3x + 5$$

를 $x+1$로 나눌 때의 나머지를 구해 보세요. 먼저 나누는 식을 $x-(-1)$로 바꾸어 보면 $P(-1)$을 계산해야 한다는 것을 알 수 있습니다. 답을 확인하고 싶다면 조립제법으로도 계산해 보고, 나머지가 같은지 비교해 보세요.