Polynomdivision

Die Polynomdivision ist ein schrittweises Verfahren, um ein Polynom von Hand durch ein anderes zu teilen. Wenn du die schriftliche Division mit Zahlen kennst, ist das Muster dasselbe: den führenden Term teilen, multiplizieren, subtrahieren und wiederholen.

Die wichtigste Regel zum Aufhören ist einfach. Höre auf, wenn der Rest einen niedrigeren Grad als der Divisor hat. Wenn der Rest $0$ ist, geht die Division ohne Rest auf.

Warum die Polynomdivision funktioniert

In jedem Schritt wählst du den Quotiententerm so, dass er den aktuellen führenden Term des Dividenden aufhebt.

Deshalb ist der erste Schritt immer:

$$\frac{\text{leading term of dividend}}{\text{leading term of divisor}}$$

Sobald du diesen Quotiententerm hast, multiplizierst du den ganzen Divisor damit und subtrahierst. Durch die Subtraktion entsteht ein neues, kleineres Polynom, mit dem du weitermachst.

Schritte der Polynomdivision

1. Schreibe beide Polynome in absteigenden Potenzen.
2. Ergänze fehlende Potenzen bei Bedarf mit Koeffizient $0$.
3. Teile den führenden Term des aktuellen Dividenden durch den führenden Term des Divisors.
4. Schreibe dieses Ergebnis in den Quotienten.
5. Multipliziere den Divisor mit diesem Quotiententerm.
6. Subtrahiere.
7. Hole den nächsten Term herunter und wiederhole den Vorgang.

Wenn die Terme nicht nach Grad untereinander ausgerichtet sind, passieren beim Subtrahieren besonders leicht Fehler.

Durchgerechnetes Beispiel: Teile $2x^3 - 5x^2 + 5x - 6$ durch $x - 2$

Wir wollen berechnen:

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2}.$$

Das Ziel in jeder Runde ist, den aktuellen führenden Term aufzuheben.

1. Die führenden Terme dividieren

Teile $2x^3$ durch $x$:

$$\frac{2x^3}{x} = 2x^2.$$

Also ist der erste Term des Quotienten $2x^2$.

2. Multiplizieren und subtrahieren

Multipliziere $2x^2$ mit dem Divisor:

$$2x^2(x - 2) = 2x^3 - 4x^2.$$

Subtrahiere vom ursprünglichen Dividenden:

$$(2x^3 - 5x^2 + 5x - 6) - (2x^3 - 4x^2) = -x^2 + 5x - 6.$$

3. Mit dem neuen führenden Term wiederholen

Teile nun $-x^2$ durch $x$:

$$\frac{-x^2}{x} = -x.$$

Schreibe $-x$ in den Quotienten.

Multipliziere:

$$-x(x - 2) = -x^2 + 2x.$$

Subtrahiere:

$$(-x^2 + 5x - 6) - (-x^2 + 2x) = 3x - 6.$$

4. Noch eine Runde

Teile $3x$ durch $x$:

$$\frac{3x}{x} = 3.$$

Schreibe $3$ in den Quotienten.

Multipliziere:

$$3(x - 2) = 3x - 6.$$

Subtrahiere:

$$(3x - 6) - (3x - 6) = 0.$$

Also ist der Rest $0$, und der Quotient ist

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2} = 2x^2 - x + 3.$$

So überprüfst du dein Ergebnis

Multipliziere den Quotienten mit dem Divisor:

$$(2x^2 - x + 3)(x - 2).$$

Ausmultipliziert ergibt das

$$2x^3 - 5x^2 + 5x - 6,$$

und das stimmt mit dem ursprünglichen Dividenden überein. Damit ist die Division bestätigt.

Häufiger Fehler: Eine fehlende Potenz überspringen

Der häufigste Fehler beim Aufschreiben ist das Überspringen einer fehlenden Potenz. Wenn du zum Beispiel $x^3 + 4x - 1$ durch $x - 1$ teilst, solltest du den Dividenden als

$$x^3 + 0x^2 + 4x - 1$$

umschreiben.

Dieser Platzhalter $0x^2$ sorgt dafür, dass beim Subtrahieren alles korrekt untereinander steht. Ohne ihn können spätere Terme in die falsche Spalte rutschen.

Wann man die Polynomdivision verwendet

Diese Methode ist nützlich, wenn eine Faktorisierung nicht offensichtlich ist, wenn du Quotient und Rest direkt brauchst oder wenn du einen unechten gebrochenrationalen Ausdruck umschreiben willst.

Sie kommt auch vor der Partialbruchzerlegung vor. Wenn der Grad des Zählers mindestens so groß ist wie der Grad des Nenners, kommt zuerst die Polynomdivision.

Probiere selbst eine Aufgabe

Versuche es selbst mit

$$\frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x + 3}.$$

Achte darauf, die Grade sauber untereinander zu schreiben, und überprüfe das Ergebnis durch Rückmultiplizieren. Als nächsten sinnvollen Schritt kannst du einen Fall mit einem Rest ungleich null ausprobieren und die Antwort schreiben als

$$\text{quotient} + \frac{\text{remainder}}{\text{divisor}}.$$