Teorema del resto — enunciato, dimostrazione ed esempi

Il Teorema del resto ti permette di trovare il resto di un polinomio senza fare la divisione lunga. Se dividi $P(x)$ per $x-a$, il resto è $P(a)$.

Questo funziona solo quando il divisore è scritto nella forma $x-a$. Per $x-3$, usa $a=3$. Per $x+2$, usa $a=-2$.

Enunciato del Teorema del resto

Se un polinomio $P(x)$ viene diviso per $x-a$, allora

$$\text{remainder} = P(a)$$

Questa è l'idea completa del teorema. Un problema di divisione diventa un problema di sostituzione.

Perché il resto è $P(a)$

Quando dividi un polinomio $P(x)$ per un'espressione lineare $x-a$, l'algoritmo della divisione dice che

$$P(x) = (x-a)Q(x) + r$$

dove $Q(x)$ è il quoziente e $r$ è il resto. Poiché il divisore ha grado $1$, il resto deve avere grado minore di $1$, quindi $r$ è semplicemente una costante.

Ora sostituisci $x=a$:

$$P(a) = (a-a)Q(a) + r = 0 + r = r$$

Quindi il resto è $P(a)$.

Esempio svolto: divisione per $x-2$

Trova il resto quando

$$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$

viene diviso per $x-2$.

Poiché il divisore è $x-2$, usa $a=2$. Poi calcola $P(2)$:

$$P(2) = 2^3 + 2(2^2) - 5(2) + 1$$ $$= 8 + 8 - 10 + 1 = 7$$

Quindi il resto è

$$7$$

Non ti serve il quoziente per rispondere a questa domanda. Una volta trovato $P(2)$, hai già il resto.

Come usare il Teorema del resto

Per la maggior parte dei problemi, il procedimento è breve:

1. Riscrivi il divisore nella forma $x-a$.
2. Individua correttamente $a$.
3. Calcola $P(a)$.
4. Indica quel valore come resto.

Se $P(a)=0$, il resto è zero, il che significa che $x-a$ divide esattamente il polinomio.

Collegamento con il Teorema del fattore

Il Teorema del fattore è una conseguenza diretta del Teorema del resto.

Se

$$P(a)=0$$

allora il resto della divisione per $x-a$ è $0$, quindi $x-a$ è un fattore di $P(x)$.

Quindi il Teorema del resto ti dice il resto in ogni caso, mentre il Teorema del fattore si concentra sul caso speciale in cui il resto è zero.

Errori comuni degli studenti

Usare il segno sbagliato per $a$

Per $x-4$, usa $a=4$. Per $x+4$, usa $a=-4$. Questo è l'errore più comune.

Dimenticare che il divisore deve avere la forma $x-a$

Il teorema è enunciato per divisori della forma $x-a$. Se il divisore è $2x-3$, non puoi sostituire $3$ e dire che quello è il resto.

Per un divisore come $2x-3$, poni prima $2x-3=0$, quindi $x=\frac{3}{2}$. Allora il resto è $P\left(\frac{3}{2}\right)$ perché il resto è comunque una costante quando si divide per un polinomio lineare.

Confondere quoziente e resto

$P(a)$ fornisce solo il resto. Non fornisce il quoziente.

Quando il Teorema del resto è utile

Di solito lo vedrai quando vuoi:

• trovare rapidamente il resto di un polinomio
• verificare se un'espressione lineare può essere un fattore
• collegare un valore sostituito alla divisione sintetica
• evitare la divisione lunga tra polinomi in un caso semplice

Prova un esercizio simile

Prendi

$$P(x) = 2x^3 - 3x + 5$$

e trova il resto della divisione per $x+1$. Inizia riscrivendo il divisore come $x-(-1)$, così sai che devi calcolare $P(-1)$. Se vuoi una buona verifica, confronta la tua risposta con la divisione sintetica e controlla che il resto coincida.