Théorème du reste — énoncé, démonstration et exemples

Le théorème du reste permet de trouver le reste d’un polynôme sans faire de division longue. Si vous divisez $P(x)$ par $x-a$, alors le reste est $P(a)$.

Cela fonctionne seulement lorsque le diviseur est écrit sous la forme $x-a$. Pour $x-3$, on prend $a=3$. Pour $x+2$, on prend $a=-2$.

Énoncé du théorème du reste

Si un polynôme $P(x)$ est divisé par $x-a$, alors

$$\text{remainder} = P(a)$$

C’est toute l’idée du théorème. Une question de division devient une question de substitution.

Pourquoi le reste est $P(a)$

Quand vous divisez un polynôme $P(x)$ par une expression linéaire $x-a$, l’algorithme de la division dit que

$$P(x) = (x-a)Q(x) + r$$

où $Q(x)$ est le quotient et $r$ est le reste. Comme le diviseur est de degré $1$, le reste doit être de degré strictement inférieur à $1$, donc $r$ est simplement une constante.

Remplaçons maintenant $x$ par $a$ :

$$P(a) = (a-a)Q(a) + r = 0 + r = r$$

Donc le reste est $P(a)$.

Exemple corrigé : division par $x-2$

Trouver le reste lorsque

$$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$

est divisé par $x-2$.

Comme le diviseur est $x-2$, on prend $a=2$. On calcule alors $P(2)$ :

$$P(2) = 2^3 + 2(2^2) - 5(2) + 1$$ $$= 8 + 8 - 10 + 1 = 7$$

Donc le reste est

$$7$$

Vous n’avez pas besoin du quotient pour répondre à cette question. Une fois que vous avez $P(2)$, vous avez déjà le reste.

Comment utiliser le théorème du reste

Pour la plupart des exercices, la méthode est courte :

1. Réécrivez le diviseur sous la forme $x-a$.
2. Identifiez correctement $a$.
3. Calculez $P(a)$.
4. Donnez cette valeur comme reste.

Si $P(a)=0$, le reste est nul, ce qui signifie que $x-a$ divise exactement le polynôme.

Lien avec le théorème des facteurs

Le théorème des facteurs est une conséquence directe du théorème du reste.

Si

$$P(a)=0$$

alors le reste de la division par $x-a$ est $0$, donc $x-a$ est un facteur de $P(x)$.

Ainsi, le théorème du reste donne le reste dans tous les cas, tandis que le théorème des facteurs s’intéresse au cas particulier où le reste est nul.

Erreurs fréquentes des élèves

Utiliser le mauvais signe pour $a$

Pour $x-4$, on prend $a=4$. Pour $x+4$, on prend $a=-4$. C’est l’erreur la plus fréquente.

Oublier que le diviseur doit être de la forme $x-a$

Le théorème est énoncé pour des diviseurs de la forme $x-a$. Si le diviseur est $2x-3$, vous ne pouvez pas remplacer par $3$ et dire que c’est le reste.

Pour un diviseur comme $2x-3$, on résout d’abord $2x-3=0$, donc $x=\frac{3}{2}$. Alors le reste est $P\left(\frac{3}{2}\right)$, car le reste est toujours une constante lorsqu’on divise par un polynôme du premier degré.

Confondre quotient et reste

$P(a)$ donne seulement le reste. Cela ne donne pas le quotient.

Quand le théorème du reste est utile

Vous le verrez généralement quand vous voulez :

• trouver rapidement le reste d’un polynôme
• vérifier si une expression linéaire peut être un facteur
• relier une valeur de substitution à la division synthétique
• éviter une division polynomiale complète dans un cas simple

Essayez un exercice similaire

Prenez

$$P(x) = 2x^3 - 3x + 5$$

et trouvez le reste de la division par $x+1$. Commencez par réécrire le diviseur sous la forme $x-(-1)$, afin de savoir qu’il faut calculer $P(-1)$. Pour bien vérifier, comparez votre réponse avec la division synthétique et assurez-vous que le reste coïncide.