Θεώρημα Υπολοίπου — Διατύπωση, Απόδειξη και Παραδείγματα

Το Θεώρημα Υπολοίπου σου επιτρέπει να βρίσκεις το υπόλοιπο ενός πολυωνύμου χωρίς να κάνεις διαίρεση κατά στήλες. Αν διαιρέσεις το $P(x)$ με το $x-a$, τότε το υπόλοιπο είναι $P(a)$.

Αυτό ισχύει μόνο όταν ο διαιρέτης είναι γραμμένος στη μορφή $x-a$. Για το $x-3$, παίρνεις $a=3$. Για το $x+2$, παίρνεις $a=-2$.

Διατύπωση του Θεωρήματος Υπολοίπου

Αν ένα πολυώνυμο $P(x)$ διαιρεθεί με το $x-a$, τότε

$$\text{remainder} = P(a)$$

Αυτή είναι όλη η ιδέα του θεωρήματος. Μια άσκηση διαίρεσης μετατρέπεται σε άσκηση αντικατάστασης.

Γιατί το υπόλοιπο είναι $P(a)$

Όταν διαιρείς ένα πολυώνυμο $P(x)$ με μια γραμμική παράσταση $x-a$, ο αλγόριθμος της διαίρεσης λέει ότι

$$P(x) = (x-a)Q(x) + r$$

όπου $Q(x)$ είναι το πηλίκο και $r$ είναι το υπόλοιπο. Επειδή ο διαιρέτης έχει βαθμό $1$, το υπόλοιπο πρέπει να έχει βαθμό μικρότερο από $1$, άρα το $r$ είναι απλώς μια σταθερά.

Τώρα θέσε $x=a$:

$$P(a) = (a-a)Q(a) + r = 0 + r = r$$

Άρα το υπόλοιπο είναι $P(a)$.

Λυμένο παράδειγμα: Διαίρεση με $x-2$

Βρες το υπόλοιπο όταν

$$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$

διαιρείται με το $x-2$.

Επειδή ο διαιρέτης είναι $x-2$, παίρνεις $a=2$. Έπειτα υπολόγισε το $P(2)$:

$$P(2) = 2^3 + 2(2^2) - 5(2) + 1$$ $$= 8 + 8 - 10 + 1 = 7$$

Άρα το υπόλοιπο είναι

$$7$$

Δεν χρειάζεσαι το πηλίκο για να απαντήσεις σε αυτή την ερώτηση. Μόλις βρεις το $P(2)$, έχεις ήδη βρει το υπόλοιπο.

Πώς να χρησιμοποιήσεις το Θεώρημα Υπολοίπου

Στα περισσότερα προβλήματα, η διαδικασία είναι σύντομη:

1. Ξαναγράψε τον διαιρέτη στη μορφή $x-a$.
2. Εντόπισε σωστά το $a$.
3. Υπολόγισε το $P(a)$.
4. Δήλωσε αυτή την τιμή ως υπόλοιπο.

Αν $P(a)=0$, το υπόλοιπο είναι μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι το $x-a$ διαιρεί ακριβώς το πολυώνυμο.

Πώς συνδέεται με το Θεώρημα Παραγόντων

Το Θεώρημα Παραγόντων είναι άμεση συνέπεια του Θεωρήματος Υπολοίπου.

Αν

$$P(a)=0$$

τότε το υπόλοιπο στη διαίρεση με το $x-a$ είναι $0$, άρα το $x-a$ είναι παράγοντας του $P(x)$.

Άρα το Θεώρημα Υπολοίπου σου δίνει το υπόλοιπο σε κάθε περίπτωση, ενώ το Θεώρημα Παραγόντων εστιάζει στην ειδική περίπτωση όπου το υπόλοιπο είναι μηδέν.

Συνηθισμένα λάθη που κάνουν οι μαθητές

Χρήση λάθος πρόσημου για το $a$

Για το $x-4$, παίρνεις $a=4$. Για το $x+4$, παίρνεις $a=-4$. Αυτό είναι το πιο συνηθισμένο λάθος.

Να ξεχνάς ότι ο διαιρέτης πρέπει να έχει τη μορφή $x-a$

Το θεώρημα διατυπώνεται για διαιρέτες της μορφής $x-a$. Αν ο διαιρέτης είναι $2x-3$, δεν μπορείς απλώς να βάλεις το $3$ και να πεις ότι αυτό είναι το υπόλοιπο.

Για έναν διαιρέτη όπως το $2x-3$, θέσε πρώτα $2x-3=0$, οπότε $x=\frac{3}{2}$. Τότε το υπόλοιπο είναι $P\left(\frac{3}{2}\right)$, επειδή το υπόλοιπο παραμένει σταθερά όταν διαιρείς με γραμμικό πολυώνυμο.

Να μπερδεύεις το πηλίκο με το υπόλοιπο

Το $P(a)$ δίνει μόνο το υπόλοιπο. Δεν δίνει το πηλίκο.

Πότε είναι χρήσιμο το Θεώρημα Υπολοίπου

Συνήθως θα το συναντήσεις όταν θέλεις να:

• βρεις γρήγορα το υπόλοιπο ενός πολυωνύμου
• ελέγξεις αν μια γραμμική παράσταση μπορεί να είναι παράγοντας
• συνδέσεις μια τιμή αντικατάστασης με τη συνθετική διαίρεση
• αποφύγεις την πλήρη διαίρεση πολυωνύμων σε μια απλή περίπτωση

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Πάρε το

$$P(x) = 2x^3 - 3x + 5$$

και βρες το υπόλοιπο όταν διαιρείς με το $x+1$. Ξεκίνα ξαναγράφοντας τον διαιρέτη ως $x-(-1)$, ώστε να ξέρεις ότι πρέπει να υπολογίσεις το $P(-1)$. Αν θέλεις έναν καλό έλεγχο, σύγκρινε την απάντησή σου με τη συνθετική διαίρεση και βεβαιώσου ότι το υπόλοιπο ταιριάζει.