Faktorsatz — Wie man Polynome faktorisiert

Der Faktorsatz besagt: Für ein Polynom $P(x)$ ist der lineare Faktor $(x-a)$ genau dann ein Faktor, wenn $P(a)=0$ gilt. Damit ist er eine der schnellsten Methoden, um zu prüfen, ob eine vermutete Nullstelle tatsächlich beim Faktorisieren eines Polynoms hilft.

$$P(a)=0 \iff (x-a) \text{ ist ein Faktor von } P(x).$$

Statt für jeden Tipp eine vollständige Division durchzuführen, setzt du nur einen Wert ein. Ist das Ergebnis null, hast du sowohl eine Nullstelle, nämlich $a$, als auch den passenden linearen Faktor $(x-a)$ gefunden.

Was der Faktorsatz bedeutet

Wenn $(x-a)$ ein Faktor ist, dann kann das Polynom in der Form

$$P(x)=(x-a)Q(x)$$

für ein Polynom $Q(x)$ geschrieben werden. Setze nun $x=a$ ein:

$$P(a)=(a-a)Q(a)=0.$$

Ein Faktor erzeugt also eine Nullstelle. Die Umkehrung ist genauso wichtig: Wenn beim Einsetzen von $a$ der Wert null herauskommt, dann hat die Division durch $(x-a)$ den Rest $0$, also ist $(x-a)$ tatsächlich ein Faktor.

Deshalb verbindet der Satz Nullstellen und Faktoren. Gilt $P(a)=0$, dann ist $a$ eine Nullstelle des Polynoms und $(x-a)$ der zugehörige lineare Faktor.

So verwendet man den Faktorsatz zum Faktorisieren von Polynomen

Der Satz sagt dir nicht, welchen Wert von $a$ du zuerst ausprobieren sollst. Er zeigt dir, wie du einen Kandidaten testest, sobald du einen hast.

In vielen Schulaufgaben ergeben sich sinnvolle ganzzahlige Kandidaten aus den Teilern des konstanten Terms. Bei einem normierten Polynom lohnt es sich oft, zuerst Werte wie $\pm 1$, $\pm 2$ und andere Teiler des konstanten Terms zu prüfen. Das ist eine Strategie, keine Garantie.

Der übliche Ablauf ist kurz:

1. Wähle einen Kandidatenwert $a$.
2. Berechne $P(a)$.
3. Wenn $P(a)=0$ gilt, notiere $(x-a)$ als Faktor.
4. Teile das Polynom durch $(x-a)$ und faktorisiere weiter, wenn möglich.

Beispiel: Ein kubisches Polynom faktorisieren

Faktorisiere

$$P(x)=x^3-6x^2+11x-6.$$

Ein sinnvoller erster Test ist $x=1$:

$$P(1)=1-6+11-6=0.$$

Weil $P(1)=0$ gilt, sagt uns der Faktorsatz, dass $(x-1)$ ein Faktor ist. Teile nun durch $(x-1)$, um den Quotienten zu erhalten:

$$x^2-5x+6.$$

Also gilt

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6).$$

Das quadratische Polynom lässt sich weiter faktorisieren:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Damit erhält man die vollständige Faktorisierung:

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3).$$

Der entscheidende Schritt war keine Magie. Wir haben einen Wert getestet, eine Nullstelle gefunden, diese Nullstelle in einen Faktor umgewandelt und dann mit gewöhnlichem Faktorisieren weitergemacht.

Häufige Fehler beim Faktorsatz

Das Vorzeichen verwechseln

Wenn $P(2)=0$ gilt, dann ist der Faktor $(x-2)$ und nicht $(x+2)$.

Der Satz passt zur Form $(x-a)$, daher ist das Vorzeichen im Faktor das Gegenteil des Vorzeichens im Wert $a$.

Zu früh aufhören

Einen Faktor zu finden, ist oft nur der erste Schritt. Nachdem du $(x-a)$ gefunden hast, teile das Polynom und faktorisiere den Quotienten, wenn möglich, weiter.

Annehmen, dass jedes Polynom einfache ganzzahlige Tests hat

Das Testen kleiner ganzer Zahlen ist nur dann nützlich, wenn die Struktur der Aufgabe das unterstützt. Manche Polynome haben rationale, irrationale oder komplexe Nullstellen statt einfacher ganzzahliger Nullstellen.

Die Bedingung vergessen

Der Faktorsatz gilt für Polynome. Er ist keine allgemeine Abkürzung für jeden algebraischen Ausdruck.

Wann der Faktorsatz nützlich ist

Der Faktorsatz ist besonders nützlich, wenn du:

• prüfen willst, ob eine vermutete Nullstelle wirklich funktioniert
• ein Polynom Schritt für Schritt faktorisieren willst
• Nullstellen mit linearen Faktoren verbinden willst
• das Horner-Schema effizienter vorbereiten willst

Er wird oft zusammen mit dem Restsatz und dem Horner-Schema verwendet. Tatsächlich ist beim Dividieren durch $(x-a)$ der Rest gleich $P(a)$. Der Faktorsatz ist der Spezialfall, in dem dieser Rest $0$ ist.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche denselben Ablauf bei

$$x^3-4x^2-x+4.$$

Teste zuerst einen einfachen Kandidatenwert, nutze den Faktorsatz, um einen linearen Faktor zu bestätigen, und beende dann die Faktorisierung durch Division. Als schnelle Kontrolle kannst du deine endgültigen Faktoren ausmultiplizieren, um sicherzugehen, dass du wieder das ursprüngliche Polynom erhältst.