余数定理——定理表述、证明与例题

余数定理可以让你不用做多项式长除法，就能求出多项式除法的余数。如果用 $x-a$ 去除 $P(x)$，那么余数就是 $P(a)$。

这一结论只适用于除式写成 $x-a$ 的形式时。对于 $x-3$，取 $a=3$；对于 $x+2$，取 $a=-2$。

余数定理的表述

如果多项式 $P(x)$ 被 $x-a$ 除，那么

$$\text{remainder} = P(a)$$

这就是余数定理的完整内容。一个除法问题就变成了一个代入求值问题。

为什么余数是 $P(a)$

当你用一次式 $x-a$ 去除多项式 $P(x)$ 时，根据除法算法，有

$$P(x) = (x-a)Q(x) + r$$

其中 $Q(x)$ 是商，$r$ 是余数。因为除式的次数是 $1$，所以余数的次数必须小于 $1$，因此 $r$ 只能是一个常数。

现在把 $x=a$ 代入：

$$P(a) = (a-a)Q(a) + r = 0 + r = r$$

所以余数就是 $P(a)$。

例题：除以 $x-2$

求当

$$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$

被 $x-2$ 除时的余数。

因为除式是 $x-2$，所以取 $a=2$。然后计算 $P(2)$：

$$P(2) = 2^3 + 2(2^2) - 5(2) + 1$$ $$= 8 + 8 - 10 + 1 = 7$$

所以余数是

$$7$$

你不需要先求出商就能回答这个问题。只要算出 $P(2)$，就已经得到余数了。

如何使用余数定理

对于大多数题目，步骤都很简短：

1. 把除式改写成 $x-a$ 的形式。
2. 正确找出 $a$ 的值。
3. 计算 $P(a)$。
4. 把这个值作为余数写出。

如果 $P(a)=0$，那么余数就是零，这说明 $x-a$ 能整除这个多项式。

它与因式定理的关系

因式定理是余数定理的直接推论。

如果

$$P(a)=0$$

那么用 $x-a$ 去除时余数就是 $0$，因此 $x-a$ 是 $P(x)$ 的一个因式。

所以，余数定理告诉你任意情况下的余数，而因式定理关注的是余数恰好为零这一特殊情形。

学生常犯的错误

把 $a$ 的符号看错

对于 $x-4$，应取 $a=4$；对于 $x+4$，应取 $a=-4$。这是最常见的错误。

忘记除式必须符合 $x-a$ 的形式

这个定理是针对形如 $x-a$ 的除式表述的。如果除式是 $2x-3$，你不能直接代入 $3$，然后说那就是余数。

对于像 $2x-3$ 这样的除式，先令 $2x-3=0$，得到 $x=\frac{3}{2}$。然后余数是 $P\left(\frac{3}{2}\right)$，因为用一次多项式作除式时，余数仍然是一个常数。

混淆商和余数

$P(a)$ 给出的只是余数，并不是商。

余数定理什么时候有用

通常在以下情况下你会用到它：

• 快速求多项式除法的余数
• 判断一个一次式是否可能是因式
• 把代入求值与综合除法联系起来
• 在简单情形下避免完整的多项式长除法

试做一道类似的题

设

$$P(x) = 2x^3 - 3x + 5$$

求它被 $x+1$ 除时的余数。先把除式改写成 $x-(-1)$，这样你就知道要计算 $P(-1)$。如果你想检验答案，可以把结果和综合除法进行比较，确认余数一致。