Định lý phần dư — Phát biểu, chứng minh và ví dụ

Định lý phần dư cho phép bạn tìm phần dư của đa thức mà không cần chia dài. Nếu bạn chia $P(x)$ cho $x-a$, thì phần dư là $P(a)$.

Điều này chỉ đúng khi số chia được viết dưới dạng $x-a$. Với $x-3$, dùng $a=3$. Với $x+2$, dùng $a=-2$.

Phát biểu định lý phần dư

Nếu một đa thức $P(x)$ được chia cho $x-a$, thì

$$\text{remainder} = P(a)$$

Đó là toàn bộ ý tưởng của định lý. Một bài toán chia trở thành một bài toán thay giá trị.

Vì sao phần dư là $P(a)$

Khi bạn chia một đa thức $P(x)$ cho biểu thức bậc nhất $x-a$, thuật toán chia cho biết

$$P(x) = (x-a)Q(x) + r$$

trong đó $Q(x)$ là thương và $r$ là phần dư. Vì số chia có bậc $1$, nên phần dư phải có bậc nhỏ hơn $1$, do đó $r$ chỉ là một hằng số.

Bây giờ thay $x=a$:

$$P(a) = (a-a)Q(a) + r = 0 + r = r$$

Vậy phần dư là $P(a)$.

Ví dụ có lời giải: Chia cho $x-2$

Tìm phần dư khi

$$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$

được chia cho $x-2$.

Vì số chia là $x-2$, ta dùng $a=2$. Sau đó tính $P(2)$:

$$P(2) = 2^3 + 2(2^2) - 5(2) + 1$$ $$= 8 + 8 - 10 + 1 = 7$$

Vậy phần dư là

$$7$$

Bạn không cần tìm thương để trả lời câu hỏi này. Khi đã có $P(2)$, bạn đã có phần dư.

Cách dùng định lý phần dư

Với hầu hết bài toán, quy trình rất ngắn:

1. Viết lại số chia dưới dạng $x-a$.
2. Xác định đúng $a$.
3. Tính $P(a)$.
4. Kết luận giá trị đó là phần dư.

Nếu $P(a)=0$, thì phần dư bằng $0$, nghĩa là $x-a$ chia hết đa thức.

Liên hệ với định lý nhân tử

Định lý nhân tử là hệ quả trực tiếp của định lý phần dư.

Nếu

$$P(a)=0$$

thì phần dư khi chia cho $x-a$ là $0$, nên $x-a$ là một nhân tử của $P(x)$.

Vì vậy, định lý phần dư cho bạn biết phần dư trong mọi trường hợp, còn định lý nhân tử tập trung vào trường hợp đặc biệt khi phần dư bằng không.

Những lỗi học sinh thường mắc

Dùng sai dấu của $a$

Với $x-4$, dùng $a=4$. Với $x+4$, dùng $a=-4$. Đây là lỗi phổ biến nhất.

Quên rằng số chia phải có dạng $x-a$

Định lý được phát biểu cho số chia có dạng $x-a$. Nếu số chia là $2x-3$, bạn không thể thay $3$ vào rồi gọi đó là phần dư.

Với số chia như $2x-3$, trước hết đặt $2x-3=0$, suy ra $x=\frac{3}{2}$. Khi đó phần dư là $P\left(\frac{3}{2}\right)$ vì phần dư vẫn là một hằng số khi chia cho một đa thức bậc nhất.

Nhầm lẫn giữa thương và phần dư

$P(a)$ chỉ cho phần dư. Nó không cho thương.

Khi nào định lý phần dư hữu ích

Bạn thường gặp định lý này khi muốn:

• tìm nhanh phần dư của đa thức
• kiểm tra xem một biểu thức bậc nhất có thể là nhân tử hay không
• liên hệ giá trị thay vào với phép chia Horner
• tránh phải thực hiện phép chia đa thức dài trong trường hợp đơn giản

Thử một bài tương tự

Xét

$$P(x) = 2x^3 - 3x + 5$$

và tìm phần dư khi chia cho $x+1$. Hãy bắt đầu bằng cách viết lại số chia thành $x-(-1)$, để biết rằng cần tính $P(-1)$. Nếu muốn kiểm tra lại, hãy so sánh đáp án của bạn với phép chia Horner và đảm bảo phần dư trùng khớp.