Teorema do Resto — Enunciado, Demonstração e Exemplos

O Teorema do Resto permite encontrar o resto de um polinômio sem fazer a divisão longa. Se você divide $P(x)$ por $x-a$, o resto é $P(a)$.

Isso só funciona quando o divisor está escrito na forma $x-a$. Para $x-3$, use $a=3$. Para $x+2$, use $a=-2$.

Enunciado do Teorema do Resto

Se um polinômio $P(x)$ é dividido por $x-a$, então

$$\text{remainder} = P(a)$$

Essa é a ideia completa do teorema. Uma questão de divisão vira uma questão de substituição.

Por que o resto é $P(a)$

Quando você divide um polinômio $P(x)$ por uma expressão linear $x-a$, o algoritmo da divisão diz que

$$P(x) = (x-a)Q(x) + r$$

em que $Q(x)$ é o quociente e $r$ é o resto. Como o divisor tem grau $1$, o resto deve ter grau menor que $1$, então $r$ é apenas uma constante.

Agora substitua $x=a$:

$$P(a) = (a-a)Q(a) + r = 0 + r = r$$

Logo, o resto é $P(a)$.

Exemplo resolvido: divisão por $x-2$

Encontre o resto quando

$$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$

é dividido por $x-2$.

Como o divisor é $x-2$, use $a=2$. Então calcule $P(2)$:

$$P(2) = 2^3 + 2(2^2) - 5(2) + 1$$ $$= 8 + 8 - 10 + 1 = 7$$

Portanto, o resto é

$$7$$

Você não precisa do quociente para responder a essa questão. Depois de encontrar $P(2)$, você já tem o resto.

Como usar o Teorema do Resto

Na maioria dos problemas, o processo é curto:

1. Reescreva o divisor na forma $x-a$.
2. Identifique $a$ corretamente.
3. Calcule $P(a)$.
4. Apresente esse valor como o resto.

Se $P(a)=0$, o resto é zero, o que significa que $x-a$ divide o polinômio exatamente.

Como ele se conecta ao Teorema do Fator

O Teorema do Fator é uma consequência direta do Teorema do Resto.

Se

$$P(a)=0$$

então o resto da divisão por $x-a$ é $0$, logo $x-a$ é um fator de $P(x)$.

Assim, o Teorema do Resto informa o resto em todos os casos, e o Teorema do Fator se concentra no caso especial em que o resto é zero.

Erros comuns que os alunos cometem

Usar o sinal errado para $a$

Para $x-4$, use $a=4$. Para $x+4$, use $a=-4$. Esse é o erro mais comum.

Esquecer que o divisor deve estar na forma $x-a$

O teorema é enunciado para divisores da forma $x-a$. Se o divisor for $2x-3$, você não pode substituir $3$ e dizer que esse é o resto.

Para um divisor como $2x-3$, primeiro faça $2x-3=0$, então $x=\frac{3}{2}$. Depois, o resto é $P\left(\frac{3}{2}\right)$, porque o resto continua sendo uma constante ao dividir por um polinômio linear.

Confundir quociente com resto

$P(a)$ fornece apenas o resto. Não fornece o quociente.

Quando o Teorema do Resto é útil

Você normalmente vai vê-lo quando quiser:

• encontrar rapidamente o resto de um polinômio
• verificar se uma expressão linear pode ser um fator
• relacionar um valor de substituição à divisão sintética
• evitar a divisão longa de polinômios em um caso simples

Tente um problema parecido

Considere

$$P(x) = 2x^3 - 3x + 5$$

e encontre o resto na divisão por $x+1$. Comece reescrevendo o divisor como $x-(-1)$, para saber que deve calcular $P(-1)$. Se quiser uma boa verificação, compare sua resposta com a divisão sintética e confirme que o resto coincide.