ทฤษฎีบทเศษเหลือ — ใจความสำคัญ การพิสูจน์ และตัวอย่าง

ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยให้คุณหาเศษของพหุนามได้โดยไม่ต้องหารยาว ถ้านำ $P(x)$ ไปหารด้วย $x-a$ เศษที่ได้คือ $P(a)$

วิธีนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ ตัวหารเขียนอยู่ในรูป $x-a$ เท่านั้น สำหรับ $x-3$ ให้ใช้ $a=3$ และสำหรับ $x+2$ ให้ใช้ $a=-2$

ใจความสำคัญของทฤษฎีบทเศษเหลือ

ถ้าพหุนาม $P(x)$ ถูกหารด้วย $x-a$ แล้ว

$$\text{remainder} = P(a)$$

นี่คือแนวคิดทั้งหมดของทฤษฎีบทนี้ โจทย์การหารจึงเปลี่ยนเป็นโจทย์การแทนค่า

ทำไมเศษจึงเป็น $P(a)$

เมื่อคุณหารพหุนาม $P(x)$ ด้วยนิพจน์เชิงเส้น $x-a$ อัลกอริทึมการหารบอกว่า

$$P(x) = (x-a)Q(x) + r$$

โดยที่ $Q(x)$ คือผลหาร และ $r$ คือเศษ เนื่องจากตัวหารมีดีกรี $1$ เศษจึงต้องมีดีกรีน้อยกว่า $1$ ดังนั้น $r$ จึงเป็นค่าคงที่

ตอนนี้แทนค่า $x=a$:

$$P(a) = (a-a)Q(a) + r = 0 + r = r$$

ดังนั้นเศษจึงเท่ากับ $P(a)$

ตัวอย่างทำโจทย์: หารด้วย $x-2$

จงหาเศษเมื่อ

$$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$

ถูกหารด้วย $x-2$

เนื่องจากตัวหารคือ $x-2$ จึงใช้ $a=2$ แล้วคำนวณ $P(2)$:

$$P(2) = 2^3 + 2(2^2) - 5(2) + 1$$ $$= 8 + 8 - 10 + 1 = 7$$

ดังนั้นเศษคือ

$$7$$

คุณไม่จำเป็นต้องหาผลหารเพื่อจะตอบข้อนี้ เมื่อได้ $P(2)$ แล้ว คุณก็ได้เศษเรียบร้อยแล้ว

วิธีใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

สำหรับโจทย์ส่วนใหญ่ ขั้นตอนจะสั้นมาก:

1. เขียนตัวหารให้อยู่ในรูป $x-a$
2. ระบุค่า $a$ ให้ถูกต้อง
3. คำนวณ $P(a)$
4. รายงานค่านั้นเป็นเศษ

ถ้า $P(a)=0$ แสดงว่าเศษเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่า $x-a$ หารพหุนามนั้นลงตัว

ความเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทตัวประกอบ

ทฤษฎีบทตัวประกอบเป็นผลตามโดยตรงจากทฤษฎีบทเศษเหลือ

ถ้า

$$P(a)=0$$

แล้วเศษจากการหารด้วย $x-a$ จะเป็น $0$ ดังนั้น $x-a$ จึงเป็นตัวประกอบของ $P(x)$

ดังนั้น ทฤษฎีบทเศษเหลือบอกเศษให้คุณได้ในทุกกรณี ส่วนทฤษฎีบทตัวประกอบจะเน้นกรณีพิเศษที่เศษเป็นศูนย์

ข้อผิดพลาดที่นักเรียนมักทำ

ใช้เครื่องหมายของ $a$ ผิด

สำหรับ $x-4$ ให้ใช้ $a=4$ และสำหรับ $x+4$ ให้ใช้ $a=-4$ นี่คือข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด

ลืมว่าตัวหารต้องอยู่ในรูป $x-a$

ทฤษฎีบทนี้ตั้งขึ้นสำหรับตัวหารที่อยู่ในรูป $x-a$ ถ้าตัวหารคือ $2x-3$ คุณไม่สามารถแทน $3$ แล้วบอกว่านั่นคือเศษได้

สำหรับตัวหารอย่าง $2x-3$ ให้ตั้ง $2x-3=0$ ก่อน จะได้ $x=\frac{3}{2}$ แล้วเศษคือ $P\left(\frac{3}{2}\right)$ เพราะเศษยังคงเป็นค่าคงที่เมื่อหารด้วยพหุนามเชิงเส้น

สับสนระหว่างผลหารกับเศษ

$P(a)$ ให้เฉพาะค่าเศษเท่านั้น ไม่ได้ให้ผลหาร

ทฤษฎีบทเศษเหลือมีประโยชน์เมื่อใด

โดยทั่วไป คุณจะพบว่ามันมีประโยชน์เมื่อคุณต้องการ:

• หาเศษของพหุนามอย่างรวดเร็ว
• ตรวจสอบว่านิพจน์เชิงเส้นอาจเป็นตัวประกอบหรือไม่
• เชื่อมโยงค่าจากการแทนค่ากับการหารสังเคราะห์
• หลีกเลี่ยงการหารยาวของพหุนามแบบเต็มในกรณีง่าย ๆ

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

กำหนดให้

$$P(x) = 2x^3 - 3x + 5$$

แล้วจงหาเศษเมื่อหารด้วย $x+1$ เริ่มจากเขียนตัวหารใหม่เป็น $x-(-1)$ เพื่อให้รู้ว่าต้องคำนวณ $P(-1)$ ถ้าคุณอยากตรวจคำตอบให้มั่นใจ ลองเปรียบเทียบกับการหารสังเคราะห์และดูว่าเศษตรงกันหรือไม่