Kalan Teoremi — İfade, İspat ve Örnekler

Kalan Teoremi, uzun bölme yapmadan bir polinomun kalanını bulmanızı sağlar. $P(x)$ polinomunu $x-a$ ile bölerseniz kalan $P(a)$ olur.

Bu yalnızca bölen $x-a$ biçiminde yazıldığında geçerlidir. $x-3$ için $a=3$ alınır. $x+2$ için $a=-2$ alınır.

Kalan Teoreminin İfadesi

Bir $P(x)$ polinomu $x-a$ ile bölünürse

$$\text{remainder} = P(a)$$

olur.

Teoremin tüm fikri budur. Bir bölme sorusu, yerine koyma sorusuna dönüşür.

Kalan Neden $P(a)$'dır?

Bir $P(x)$ polinomunu $x-a$ gibi doğrusal bir ifadeye böldüğünüzde, bölme algoritması şunu söyler:

$$P(x) = (x-a)Q(x) + r$$

Burada $Q(x)$ bölüm, $r$ ise kalandır. Bölenin derecesi $1$ olduğu için kalanın derecesi $1$'den küçük olmalıdır; yani $r$ sadece bir sabittir.

Şimdi $x=a$ yazalım:

$$P(a) = (a-a)Q(a) + r = 0 + r = r$$

Dolayısıyla kalan $P(a)$'dır.

Çözümlü Örnek: $x-2$ ile Bölme

Aşağıdaki durumda kalanı bulun:

$$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$

ve bu polinom $x-2$ ile bölünüyor.

Bölen $x-2$ olduğuna göre $a=2$ alınır. Sonra $P(2)$ hesaplanır:

$$P(2) = 2^3 + 2(2^2) - 5(2) + 1$$ $$= 8 + 8 - 10 + 1 = 7$$

O hâlde kalan

$$7$$

olur.

Bu soruyu cevaplamak için bölümü bulmanız gerekmez. $P(2)$ değerini bulduğunuz anda kalanı da bulmuş olursunuz.

Kalan Teoremi Nasıl Kullanılır?

Çoğu soruda süreç kısadır:

1. Böleni $x-a$ biçiminde yeniden yazın.
2. $a$ değerini doğru belirleyin.
3. $P(a)$ değerini hesaplayın.
4. Bu değeri kalan olarak yazın.

Eğer $P(a)=0$ ise kalan sıfırdır; bu da $x-a$ ifadesinin polinomu tam böldüğü anlamına gelir.

Çarpan Teoremi ile Bağlantısı

Çarpan Teoremi, Kalan Teoremi'nin doğrudan bir sonucudur.

Eğer

$$P(a)=0$$

ise, $x-a$ ile bölmede kalan $0$ olur; dolayısıyla $x-a$, $P(x)$'in bir çarpanıdır.

Yani Kalan Teoremi her durumda kalanı söyler, Çarpan Teoremi ise kalanın sıfır olduğu özel duruma odaklanır.

Öğrencilerin Yaptığı Yaygın Hatalar

$a$ İçin Yanlış İşaret Kullanmak

$x-4$ için $a=4$ alınır. $x+4$ için $a=-4$ alınır. En yaygın hata budur.

Bölenin $x-a$ Biçiminde Olması Gerektiğini Unutmak

Teorem, $x-a$ biçimindeki bölenler için ifade edilir. Eğer bölen $2x-3$ ise, doğrudan $3$ yazıp bunun kalan olduğunu söyleyemezsiniz.

$2x-3$ gibi bir bölen için önce $2x-3=0$ yazın; buradan $x=\frac{3}{2}$ bulunur. Sonra kalan $P\left(\frac{3}{2}\right)$ olur; çünkü doğrusal bir polinoma bölmede kalan hâlâ bir sabittir.

Bölüm ile Kalanı Karıştırmak

$P(a)$ yalnızca kalanı verir. Bölümü vermez.

Kalan Teoremi Ne Zaman Kullanışlıdır?

Genellikle şu durumlarda karşınıza çıkar:

• bir polinomun kalanını hızlıca bulmak
• doğrusal bir ifadenin çarpan olup olmadığını kontrol etmek
• yerine koyma değerini sentetik bölme ile ilişkilendirmek
• basit bir durumda tam polinom uzun bölmesinden kaçınmak

Benzer Bir Soru Deneyin

Şunu alın:

$$P(x) = 2x^3 - 3x + 5$$

ve $x+1$ ile bölündüğünde kalanı bulun. Böleni önce $x-(-1)$ biçiminde yeniden yazın; böylece $P(-1)$ hesaplamanız gerektiğini anlarsınız. İyi bir kontrol yapmak isterseniz, cevabınızı sentetik bölme ile karşılaştırın ve kalanın aynı olduğundan emin olun.