Twierdzenie o reszcie — treść, dowód i przykłady

Twierdzenie o reszcie pozwala znaleźć resztę z dzielenia wielomianu bez wykonywania pisemnego dzielenia. Jeśli dzielisz $P(x)$ przez $x-a$, to reszta jest równa $P(a)$.

Działa to tylko wtedy, gdy dzielnik ma postać $x-a$. Dla $x-3$ przyjmij $a=3$. Dla $x+2$ przyjmij $a=-2$.

Treść twierdzenia o reszcie

Jeśli wielomian $P(x)$ jest dzielony przez $x-a$, to

$$\text{reszta} = P(a)$$

To jest cała idea tego twierdzenia. Zadanie z dzielenia zamienia się w zadanie z podstawiania.

Dlaczego reszta jest równa $P(a)$

Gdy dzielisz wielomian $P(x)$ przez wyrażenie liniowe $x-a$, algorytm dzielenia mówi, że

$$P(x) = (x-a)Q(x) + r$$

gdzie $Q(x)$ jest ilorazem, a $r$ jest resztą. Ponieważ dzielnik ma stopień $1$, reszta musi mieć stopień mniejszy niż $1$, więc $r$ jest po prostu stałą.

Teraz podstaw $x=a$:

$$P(a) = (a-a)Q(a) + r = 0 + r = r$$

Zatem reszta jest równa $P(a)$.

Przykład: dzielenie przez $x-2$

Znajdź resztę, gdy

$$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$

jest dzielony przez $x-2$.

Ponieważ dzielnik to $x-2$, przyjmij $a=2$. Następnie oblicz $P(2)$:

$$P(2) = 2^3 + 2(2^2) - 5(2) + 1$$ $$= 8 + 8 - 10 + 1 = 7$$

Zatem reszta wynosi

$$7$$

Nie musisz obliczać ilorazu, aby odpowiedzieć na to pytanie. Gdy masz już $P(2)$, znasz resztę.

Jak stosować twierdzenie o reszcie

W większości zadań postępowanie jest krótkie:

1. Przepisz dzielnik w postaci $x-a$.
2. Poprawnie wyznacz $a$.
3. Oblicz $P(a)$.
4. Podaj tę wartość jako resztę.

Jeśli $P(a)=0$, to reszta jest równa zero, co oznacza, że $x-a$ dzieli wielomian dokładnie.

Związek z twierdzeniem o czynniku

Twierdzenie o czynniku jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenia o reszcie.

Jeśli

$$P(a)=0$$

to reszta z dzielenia przez $x-a$ jest równa $0$, więc $x-a$ jest czynnikiem wielomianu $P(x)$.

Twierdzenie o reszcie mówi więc, jaka jest reszta w każdym przypadku, a twierdzenie o czynniku dotyczy szczególnego przypadku, gdy reszta jest zerowa.

Typowe błędy uczniów

Użycie złego znaku dla $a$

Dla $x-4$ przyjmij $a=4$. Dla $x+4$ przyjmij $a=-4$. To najczęstszy błąd.

Zapominanie, że dzielnik musi mieć postać $x-a$

Twierdzenie jest sformułowane dla dzielników postaci $x-a$. Jeśli dzielnik to $2x-3$, nie możesz po prostu podstawić $3$ i uznać, że to reszta.

Dla dzielnika takiego jak $2x-3$ najpierw rozwiąż równanie $2x-3=0$, więc $x=\frac{3}{2}$. Wtedy reszta wynosi $P\left(\frac{3}{2}\right)$, ponieważ przy dzieleniu przez wielomian liniowy reszta nadal jest stałą.

Mylenie ilorazu z resztą

$P(a)$ daje tylko resztę. Nie daje ilorazu.

Kiedy twierdzenie o reszcie jest przydatne

Zwykle spotkasz je wtedy, gdy chcesz:

• szybko znaleźć resztę z dzielenia wielomianu
• sprawdzić, czy wyrażenie liniowe może być czynnikiem
• powiązać wartość podstawienia z dzieleniem schematem Hornera
• uniknąć pełnego pisemnego dzielenia wielomianów w prostym przypadku

Spróbuj podobnego zadania

Weź

$$P(x) = 2x^3 - 3x + 5$$

i znajdź resztę przy dzieleniu przez $x+1$. Zacznij od przepisania dzielnika w postaci $x-(-1)$, aby wiedzieć, że trzeba obliczyć $P(-1)$. Jeśli chcesz dobrze sprawdzić wynik, porównaj odpowiedź z dzieleniem schematem Hornera i upewnij się, że reszta się zgadza.