Teorema Sisa — Pernyataan, Bukti & Contoh

Teorema Sisa memungkinkan Anda mencari sisa pembagian polinomial tanpa melakukan pembagian panjang. Jika Anda membagi $P(x)$ dengan $x-a$, sisanya adalah $P(a)$.

Ini hanya berlaku ketika pembagi ditulis dalam bentuk $x-a$. Untuk $x-3$, gunakan $a=3$. Untuk $x+2$, gunakan $a=-2$.

Pernyataan Teorema Sisa

Jika sebuah polinomial $P(x)$ dibagi oleh $x-a$, maka

$$\text{remainder} = P(a)$$

Inilah inti lengkap dari teorema tersebut. Soal pembagian berubah menjadi soal substitusi.

Mengapa Sisanya Adalah $P(a)$

Saat Anda membagi polinomial $P(x)$ dengan bentuk linear $x-a$, algoritma pembagian menyatakan

$$P(x) = (x-a)Q(x) + r$$

dengan $Q(x)$ sebagai hasil bagi dan $r$ sebagai sisa. Karena pembagi berderajat $1$, sisa harus berderajat kurang dari $1$, jadi $r$ hanyalah sebuah konstanta.

Sekarang substitusikan $x=a$:

$$P(a) = (a-a)Q(a) + r = 0 + r = r$$

Jadi sisanya adalah $P(a)$.

Contoh Soal: Dibagi Dengan $x-2$

Tentukan sisa ketika

$$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$

dibagi oleh $x-2$.

Karena pembaginya adalah $x-2$, gunakan $a=2$. Lalu hitung $P(2)$:

$$P(2) = 2^3 + 2(2^2) - 5(2) + 1$$ $$= 8 + 8 - 10 + 1 = 7$$

Jadi sisanya adalah

$$7$$

Anda tidak perlu mencari hasil baginya untuk menjawab soal ini. Setelah mendapatkan $P(2)$, Anda sudah memperoleh sisanya.

Cara Menggunakan Teorema Sisa

Untuk sebagian besar soal, langkahnya singkat:

1. Tulis ulang pembagi dalam bentuk $x-a$.
2. Tentukan nilai $a$ dengan benar.
3. Hitung $P(a)$.
4. Nyatakan nilai itu sebagai sisa.

Jika $P(a)=0$, sisanya nol, yang berarti $x-a$ membagi polinomial secara tepat.

Hubungannya Dengan Teorema Faktor

Teorema Faktor adalah akibat langsung dari Teorema Sisa.

Jika

$$P(a)=0$$

maka sisa pembagian oleh $x-a$ adalah $0$, sehingga $x-a$ merupakan faktor dari $P(x)$.

Jadi Teorema Sisa memberi tahu Anda sisa dalam setiap kasus, sedangkan Teorema Faktor berfokus pada kasus khusus ketika sisanya nol.

Kesalahan Umum yang Dilakukan Siswa

Menggunakan Tanda yang Salah untuk $a$

Untuk $x-4$, gunakan $a=4$. Untuk $x+4$, gunakan $a=-4$. Ini adalah kesalahan yang paling umum.

Lupa Bahwa Pembagi Harus Sesuai Dengan $x-a$

Teorema ini dinyatakan untuk pembagi berbentuk $x-a$. Jika pembaginya adalah $2x-3$, Anda tidak bisa langsung memasukkan $3$ lalu menyebutnya sebagai sisa.

Untuk pembagi seperti $2x-3$, tentukan dulu $2x-3=0$, sehingga $x=\frac{3}{2}$. Lalu sisanya adalah $P\left(\frac{3}{2}\right)$ karena sisa tetap berupa konstanta saat membagi dengan polinomial linear.

Tertukar Antara Hasil Bagi dan Sisa

$P(a)$ hanya memberikan sisa. Nilai itu tidak memberikan hasil bagi.

Kapan Teorema Sisa Berguna

Biasanya Anda akan menemukannya saat ingin:

• mencari sisa pembagian polinomial dengan cepat
• memeriksa apakah suatu bentuk linear mungkin merupakan faktor
• menghubungkan nilai substitusi dengan pembagian sintetis
• menghindari pembagian panjang polinomial penuh pada kasus sederhana

Coba Soal Serupa

Ambil

$$P(x) = 2x^3 - 3x + 5$$

dan tentukan sisanya saat dibagi oleh $x+1$. Mulailah dengan menulis ulang pembagi sebagai $x-(-1)$, sehingga Anda tahu bahwa yang harus dihitung adalah $P(-1)$. Jika ingin memeriksa jawaban, bandingkan dengan pembagian sintetis dan pastikan sisanya sama.