剰余の定理 — 定理の内容・証明・例題

剰余の定理を使うと、長除法をしなくても多項式の余りを求められます。$P(x)$ を $x-a$ で割るとき、余りは $P(a)$ です。

これは、割る式が $x-a$ の形で書かれているときにだけそのまま使えます。$x-3$ なら $a=3$、$x+2$ なら $a=-2$ です。

剰余の定理の内容

多項式 $P(x)$ を $x-a$ で割ると、

$$\text{remainder} = P(a)$$

となります。

これが定理の要点です。割り算の問題が、代入の問題に変わります。

なぜ余りは $P(a)$ になるのか

多項式 $P(x)$ を一次式 $x-a$ で割るとき、割り算の公式より

$$P(x) = (x-a)Q(x) + r$$

と書けます。

ここで $Q(x)$ は商、$r$ は余りです。割る式の次数は $1$ なので、余りの次数は $1$ 未満でなければならず、$r$ は定数になります。

ここで $x=a$ を代入すると、

$$P(a) = (a-a)Q(a) + r = 0 + r = r$$

となります。

したがって、余りは $P(a)$ です。

例題：$x-2$ で割る

次のときの余りを求めます。

$$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$

これを $x-2$ で割ります。

割る式が $x-2$ なので、$a=2$ を使います。そこで $P(2)$ を計算します。

$$P(2) = 2^3 + 2(2^2) - 5(2) + 1$$ $$= 8 + 8 - 10 + 1 = 7$$

したがって、余りは

$$7$$

です。

この問題では商を求める必要はありません。$P(2)$ が求まった時点で、すでに余りがわかっています。

剰余の定理の使い方

多くの問題では、手順は短くまとまります。

1. 割る式を $x-a$ の形に書き直す。
2. $a$ の値を正しく読み取る。
3. $P(a)$ を計算する。
4. その値を余りとして答える。

もし $P(a)=0$ なら、余りは $0$ です。つまり、$x-a$ はその多項式をちょうど割り切ります。

因数定理との関係

因数定理は、剰余の定理から直接導かれます。

もし

$$P(a)=0$$

なら、$x-a$ で割ったときの余りは $0$ です。したがって、$x-a$ は $P(x)$ の因数です。

つまり、剰余の定理はあらゆる場合の余りを教えてくれます。一方、因数定理は余りが $0$ になる特別な場合に注目したものです。

生徒がよくするミス

$a$ の符号を取り違える

$x-4$ なら $a=4$、$x+4$ なら $a=-4$ です。これは最も多いミスです。

割る式が $x-a$ の形であることを忘れる

この定理は、割る式が $x-a$ の形のときに述べられています。割る式が $2x-3$ のとき、$3$ を代入してそれを余りとすることはできません。

$2x-3$ のような式では、まず $2x-3=0$ とおいて、$x=\frac{3}{2}$ を求めます。そのうえで余りは $P\left(\frac{3}{2}\right)$ になります。一次式で割るとき、余りはやはり定数だからです。

商と余りを混同する

$P(a)$ でわかるのは余りだけです。商ではありません。

剰余の定理が役立つ場面

通常、次のようなときによく使います。

• 多項式の余りをすばやく求めたいとき
• 一次式が因数になりそうか確かめたいとき
• 代入した値と組立除法の関係を理解したいとき
• 簡単な場合に多項式の長除法を避けたいとき

類題に挑戦

次を考えてみましょう。

$$P(x) = 2x^3 - 3x + 5$$

これを $x+1$ で割るときの余りを求めてください。まず割る式を $x-(-1)$ と書き直せば、$P(-1)$ を計算すればよいとわかります。確認したいなら、組立除法でも計算して、余りが一致するか確かめてみましょう。