Teorema del Resto — Enunciado, demostración y ejemplos

El Teorema del Resto te permite hallar el resto de un polinomio sin hacer la división larga. Si divides $P(x)$ entre $x-a$, el resto es $P(a)$.

Esto solo funciona cuando el divisor está escrito en la forma $x-a$. Para $x-3$, usa $a=3$. Para $x+2$, usa $a=-2$.

Enunciado del Teorema del Resto

Si un polinomio $P(x)$ se divide entre $x-a$, entonces

$$\text{remainder} = P(a)$$

Esa es la idea completa del teorema. Una pregunta de división se convierte en una pregunta de sustitución.

Por qué el resto es $P(a)$

Cuando divides un polinomio $P(x)$ entre una expresión lineal $x-a$, el algoritmo de la división dice que

$$P(x) = (x-a)Q(x) + r$$

donde $Q(x)$ es el cociente y $r$ es el resto. Como el divisor tiene grado $1$, el resto debe tener grado menor que $1$, así que $r$ es solo una constante.

Ahora sustituye $x=a$:

$$P(a) = (a-a)Q(a) + r = 0 + r = r$$

Por lo tanto, el resto es $P(a)$.

Ejemplo resuelto: dividir entre $x-2$

Halla el resto cuando

$$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$

se divide entre $x-2$.

Como el divisor es $x-2$, usa $a=2$. Luego evalúa $P(2)$:

$$P(2) = 2^3 + 2(2^2) - 5(2) + 1$$ $$= 8 + 8 - 10 + 1 = 7$$

Así que el resto es

$$7$$

No necesitas el cociente para responder esta pregunta. Una vez que tienes $P(2)$, ya tienes el resto.

Cómo usar el Teorema del Resto

En la mayoría de los problemas, el proceso es corto:

1. Reescribe el divisor como $x-a$.
2. Identifica correctamente $a$.
3. Calcula $P(a)$.
4. Indica ese valor como el resto.

Si $P(a)=0$, el resto es cero, lo que significa que $x-a$ divide exactamente al polinomio.

Cómo se relaciona con el Teorema del Factor

El Teorema del Factor es una consecuencia directa del Teorema del Resto.

Si

$$P(a)=0$$

entonces el resto al dividir entre $x-a$ es $0$, así que $x-a$ es un factor de $P(x)$.

Así, el Teorema del Resto te da el resto en todos los casos, y el Teorema del Factor se centra en el caso especial en que el resto es cero.

Errores comunes que cometen los estudiantes

Usar el signo incorrecto para $a$

Para $x-4$, usa $a=4$. Para $x+4$, usa $a=-4$. Este es el error más común.

Olvidar que el divisor debe coincidir con $x-a$

El teorema se enuncia para divisores de la forma $x-a$. Si el divisor es $2x-3$, no puedes sustituir $3$ y decir que ese es el resto.

Para un divisor como $2x-3$, primero plantea $2x-3=0$, así que $x=\frac{3}{2}$. Entonces el resto es $P\left(\frac{3}{2}\right)$ porque el resto sigue siendo una constante al dividir entre un polinomio lineal.

Confundir cociente y resto

$P(a)$ solo da el resto. No da el cociente.

Cuándo es útil el Teorema del Resto

Normalmente lo verás cuando quieras:

• hallar rápidamente el resto de un polinomio
• comprobar si una expresión lineal puede ser un factor
• relacionar un valor de sustitución con la división sintética
• evitar la división larga de polinomios en un caso sencillo

Prueba un problema similar

Toma

$$P(x) = 2x^3 - 3x + 5$$

y halla el resto al dividir entre $x+1$. Empieza reescribiendo el divisor como $x-(-1)$, para saber que debes calcular $P(-1)$. Si quieres una buena comprobación, compara tu respuesta con la división sintética y asegúrate de que el resto coincida.