Wurzelortskurvenverfahren

Die Wurzelortskurve ist eine Methode der Regelungstechnik, mit der man sehen kann, wohin sich die Pole des geschlossenen Regelkreises bewegen, wenn sich eine Verstärkung ändert. Im üblichen kontinuierlichen Fall mit negativer Rückkopplung wird diese Verstärkung meist als $K \ge 0$ geschrieben, und die Darstellung liegt in der komplexen $s$-Ebene.

Das ist wichtig, weil die Lage der Pole mit dem Systemverhalten zusammenhängt. Bei einem linearen kontinuierlichen System sind Pole in der linken Halbebene mit stabilen Modi verbunden, daher liefert die Wurzelortskurve eine schnelle Möglichkeit zu beurteilen, wie eine Änderung der Verstärkung die Stabilität verbessern oder verschlechtern kann.

Wenn der offene Übertragungsfaktor als $K G(s)H(s)$ geschrieben wird, sind die Pole des geschlossenen Regelkreises die Lösungen von

$$1 + K G(s)H(s) = 0$$

Die Wurzelortskurve ist also die Menge aller Polstellen des geschlossenen Regelkreises, wenn $K$ variiert.

Was das Wurzelortskurvendiagramm zeigt

Das Diagramm zeigt keine beliebigen Punkte. Es zeigt die möglichen Polstellen des geschlossenen Regelkreises für ein bestimmtes Rückkopplungsmodell und einen bestimmten Verstärkungsbereich.

Zwei Tatsachen liefern den größten Teil der Intuition:

• Die Äste beginnen bei den Polen des offenen Regelkreises, wenn $K = 0$.
• Die Äste enden bei den Nullstellen des offenen Regelkreises oder gehen gegen unendlich, wenn $K \to \infty$.

Damit wird die praktische Frage einfach: Wenn du die Verstärkung erhöhst, wohin bewegen sich die Pole?

Warum Studierende die Wurzelortskurve verwenden

Man kann sich die Wurzelortskurve als Bewegungsdiagramm für Pole vorstellen. Du löst nicht für jeden Wert von $K$ ein völlig neues Problem. Du verfolgst den Weg, den die Pole nehmen, wenn sich die Verstärkung kontinuierlich ändert.

Genau deshalb ist die Methode im Entwurf nützlich. Statt viele einzelne Verstärkungen nacheinander zu testen, kannst du den gesamten Trend in einem einzigen Diagramm sehen.

Durchgerechnetes Beispiel: Wurzelortskurve für $L(s) = \frac{K}{s(s+2)}$

Betrachte den offenen Übertragungsfaktor

$$L(s) = \frac{K}{s(s+2)}$$

mit negativer Einheitsrückkopplung. Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises ist

$$1 + \frac{K}{s(s+2)} = 0$$

Multipliziere mit $s(s+2)$:

$$s(s+2) + K = 0$$

also

$$s^2 + 2s + K = 0$$

Löse nun nach den Polen des geschlossenen Regelkreises auf:

$$s = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4K}}{2} = -1 \pm \sqrt{1-K}$$

Diese Formel zeigt bereits das wichtigste Verhalten der Wurzelortskurve.

Wenn $K = 0$, liegen die Pole bei $s = 0$ und $s = -2$. Das sind die Pole des offenen Regelkreises, also die Startpunkte der Wurzelortskurve.

Wenn $0 < K < 1$, bleiben beide Pole auf der reellen Achse:

$$s = -1 \pm \sqrt{1-K}$$

Wenn $K$ zunimmt, bewegen sich diese Pole auf der reellen Achse aufeinander zu.

Wenn $K = 1$, treffen sie sich bei

$$s = -1$$

Für $K > 1$ wird die Wurzel imaginär, daher werden die Pole zu einem komplex konjugierten Paar:

$$s = -1 \pm i\sqrt{K-1}$$

Jetzt bleibt der Realteil fest bei $-1$, und die Pole bewegen sich vertikal nach oben und unten.

Damit hast du die ganze Geschichte auf einen Blick:

• Die Äste beginnen bei $0$ und $-2$.
• Sie treffen sich bei $-1$.
• Danach verlassen sie die reelle Achse als komplexes Paar.
• Es gibt keine endlichen Nullstellen, also gehen die Äste gegen unendlich.

Weil der Realteil für jedes $K > 0$ negativ bleibt, bleibt dieses spezielle geschlossene System für alle positiven Verstärkungen in der linken Halbebene. Diese Schlussfolgerung hängt von genau diesem Beispiel und vom kontinuierlichen Fall ab.

Häufige Fehler bei der Wurzelortskurve

Pole des offenen und geschlossenen Regelkreises verwechseln

Die Wurzelortskurve entsteht aus der charakteristischen Gleichung des geschlossenen Regelkreises. Pole und Nullstellen des offenen Regelkreises helfen beim Skizzieren, aber die Kurve selbst zeigt, wohin sich die Pole des geschlossenen Regelkreises bewegen können.

Das Vorzeichen der Rückkopplung vergessen

Die Standardform oben verwendet negative Rückkopplung und meist $K \ge 0$. Wenn sich das Vorzeichen der Rückkopplung oder der Verstärkungsbereich ändert, ändert sich auch die Wurzelortskurve.

Stabilität ablesen, ohne den Kontext zu nennen

Für ein kontinuierliches System bedeuten Pole in der linken Halbebene asymptotische Stabilität. Ein zeitdiskretes System hat einen anderen Stabilitätsbereich, daher gilt dieselbe visuelle Regel nicht unverändert.

Das Diagramm wie einen Zeitantwort-Graphen behandeln

Die Wurzelortskurve sagt dir, wo die Pole liegen. Sie liefert nicht direkt Überschwingen, Einschwingzeit oder Antwortgröße, außer du verknüpfst die Polstellen mit einem bestimmten Modell und einer passenden Näherung.

Wann das Wurzelortskurvenverfahren verwendet wird

Die Wurzelortskurve wird verwendet, wenn du eine Verstärkung abstimmen und verstehen willst, wie diese Abstimmung die Polstellen eines linearen Rückkopplungssystems verändert.

Das kommt besonders oft im einführenden Reglerentwurf vor, vor allem wenn du eine Verstärkung suchst, die die Pole in einem stabilen Bereich hält oder sie in Richtung einer schnelleren oder langsameren Antwort verschiebt. Selbst wenn Software das Diagramm für dich zeichnet, bleibt die Idee wichtig, weil sie dir sagt, was das Diagramm tatsächlich aussagt.

So beginnst du jede Aufgabe zur Wurzelortskurve

Beantworte vor jeder Skizze diese Fragen:

1. Wie lautet die charakteristische Gleichung?
2. Wo liegen die Pole und Nullstellen des offenen Regelkreises?
3. Verwendest du die Standardanordnung mit negativer Rückkopplung und $K \ge 0$?

Wenn diese drei Punkte unklar sind, lässt sich das Diagramm leicht falsch lesen.

Probiere deine eigene Version

Versuche denselben Ablauf mit

$$L(s) = \frac{K}{s(s+1)}$$

Schreibe die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises auf, löse nach den Polen und verfolge, was passiert, wenn $K$ zunimmt. Wenn du erkennen kannst, wo die beiden Äste beginnen und wann sie nicht mehr rein reell sind, hast du die Grundidee der Wurzelortskurve verstanden.