Zustandsraumdarstellung

Die Zustandsraumdarstellung schreibt ein dynamisches System als ein System von Gleichungen erster Ordnung um. Statt mit einer einzelnen Differentialgleichung höherer Ordnung zu arbeiten, verfolgst du einen Zustandsvektor, der die Informationen enthält, die nötig sind, um vorherzusagen, was als Nächstes passiert.

Wenn du danach gesucht hast, wie man eine Differentialgleichung in Zustandsraumform umwandelt, ist das die Grundidee: Zustandsvariablen wählen, für jede Variable eine Gleichung für ihre Ableitung aufstellen und das Modell in erster Ordnung halten.

Zustandsraumdarstellung in einer Definition

Allgemein kann ein Zustandsraummodell geschrieben werden als

$$x'(t) = f(x(t), u(t), t)$$

Hier ist $x(t)$ der Zustandsvektor und $u(t)$ ein Eingang, falls das System einen hat. Wenn das System linear und zeitinvariant ist, nimmt dieselbe Idee die Matrixform an

$$x'(t) = Ax(t) + Bu(t), \qquad y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

Diese Matrixversion ist in der Regelungs- und Differentialgleichungstheorie üblich, aber der Zustandsraum ist allgemeiner als nur der lineare Fall.

Was der Zustand bedeutet

Der Zustand ist die Gesamtheit der aktuellen Größen, mit denen du das zukünftige Verhalten bestimmen kannst, sobald der Eingang bekannt ist. Bei einem bewegten Objekt reicht die Position allein meist nicht aus. Position und Geschwindigkeit zusammen tun es oft.

Genau deshalb ist die Zustandsraumdarstellung nützlich. Sie verwandelt ein Zeitentwicklungsproblem in eine Standardform erster Ordnung, die sich leichter analysieren, simulieren und mit Matrixmethoden verbinden lässt.

Warum man ein System so umschreibt

Viele Modelle beginnen als Differentialgleichungen höherer Ordnung. Die Zustandsraumform schreibt sie um, ohne die zugrunde liegende Dynamik zu verändern.

Das ist wichtig, weil Systeme erster Ordnung in eine einheitliche Struktur passen. Sobald ein Modell diese Struktur hat, lassen sich Anfangsbedingungen, Eingänge, Ausgänge und Stabilität leichter auf konsistente Weise besprechen.

Durchgerechnetes Beispiel: Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in den Zustandsraum umwandeln

Starte mit

$$y'' + 3y' + 2y = u(t)$$

Hier ist $u(t)$ ein Eingang. Wähle Zustandsvariablen, die den aktuellen Zustand des Systems erfassen:

$$x_1 = y, \qquad x_2 = y'$$

Schreibe nun für jede Zustandsvariable eine Gleichung erster Ordnung auf. Da $x_1 = y$ gilt,

$$x_1' = x_2$$

Da $x_2 = y'$ ist, gilt auch $x_2' = y''$. Durch Umstellen der ursprünglichen Gleichung erhält man

$$y'' = -3y' - 2y + u(t)$$

Setze $y = x_1$ und $y' = x_2$ ein:

$$x_2' = -2x_1 - 3x_2 + u(t)$$

Die Zustandsgleichungen sind also

$$\begin{aligned} x_1' &= x_2 \\ x_2' &= -2x_1 - 3x_2 + u(t) \end{aligned}$$

In Vektorform, mit

$$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},$$

wird daraus

$$x' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} u(t)$$

Wenn die Ausgabe die ursprüngliche Größe $y$ ist, dann gilt

$$y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x$$

Der entscheidende Schritt ist die Umwandlung von einer Gleichung zweiter Ordnung in zwei Gleichungen erster Ordnung. Das ist der Kern der Zustandsraumdarstellung.

Was man in diesem Beispiel beachten sollte

Die Zustandsvariablen wurden nicht zufällig gewählt. Sie machen es möglich, das Modell als System erster Ordnung zu schreiben.

Beachte auch, dass die Ausgabe $y$ nicht dasselbe ist wie der vollständige Zustandsvektor. In diesem Beispiel ist $y = x_1$, während der vollständige Zustand $(x_1, x_2)$ ist. Diese Begriffe können sich überschneiden, sind aber nicht automatisch identisch.

Häufige Fehler beim Umwandeln in die Zustandsraumform

Den Zustand mit der Ausgabe verwechseln

Der Zustand enthält die inneren Variablen, die nötig sind, damit sich das System weiterentwickeln kann. Die Ausgabe ist die Größe, die du beobachten möchtest. Manchmal überschneiden sie sich, aber sie sind nicht automatisch dasselbe.

Annehmen, dass die Darstellung eindeutig ist

Das ist sie meistens nicht. Verschiedene Wahlen von Zustandsvariablen können dieselbe Dynamik beschreiben, solange sie genügend Informationen erfassen.

Die Forderung nach erster Ordnung vergessen

Ein Zustandsraummodell wird als System von Gleichungen erster Ordnung in den Zustandsvariablen geschrieben. Wenn noch eine Ableitung zweiter Ordnung einer Zustandsvariablen übrig ist, ist die Umformung noch nicht abgeschlossen.

Jedes Modell als linear behandeln

Die Matrixform mit $A$, $B$, $C$ und $D$ gilt nur, wenn die Gleichungen in den gewählten Zustandsvariablen linear sind. Nichtlineare Systeme verwenden ebenfalls den Zustandsraum, werden aber mit Funktionen statt mit konstanten Matrizen geschrieben.

Wo die Zustandsraumdarstellung verwendet wird

Die Zustandsraumdarstellung kommt in Differentialgleichungen, Regelungstechnik, Signalverarbeitung, Robotik und Physik vor. Sie ist besonders nützlich, wenn dich interessiert, wie sich ein System über die Zeit verändert und wie Eingänge diese Veränderung beeinflussen.

Wenn das Modell linear ist, werden Matrixmethoden besonders nützlich. Zum Beispiel können Eigenwerte der Matrix $A$ helfen, Wachstum, Abklingen oder Schwingungen zu beschreiben, aber nur unter den Annahmen, die im Modell stecken.

Probiere deine eigene Version

Nimm

$$y'' + 4y' + 5y = 0$$

und wähle $x_1 = y$, $x_2 = y'$. Schreibe es als System erster Ordnung um und bestimme dann die Matrix $A$. Wenn das sitzt, versuche eine ähnliche Aufgabe mit einem Eingangsterm und schau, wie die Matrix $B$ auftaucht.