Laplace-Transformation — Tabelle, Eigenschaften & Inverse

Die Laplace-Transformation wandelt eine Funktion im Zeitbereich $f(t)$ in eine neue Funktion $F(s)$ um, mit der sich oft leichter arbeiten lässt. In einem Einführungskurs ist ihre Hauptaufgabe einfach: Differentialgleichungen mit Anfangsbedingungen in Algebraaufgaben umwandeln und dann mit der inversen Laplace-Transformation zu $t$ zurückkehren.

Für die einseitige Laplace-Transformation, die in den meisten Kursen zu Differentialgleichungen verwendet wird, lautet die Definition

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt$$

wenn das Integral konvergiert.

Wenn $\operatorname{Re}(s)$ groß genug ist, dämpft der Faktor $e^{-st}$ das Verhalten für große $t$, und das uneigentliche Integral kann endlich bleiben. Diese Konvergenzbedingung ist Teil der Transformation und kein zusätzlicher Kleingedruckt-Hinweis.

Wobei dir die Laplace-Transformation hilft

Die Transformation ändert nicht die Bedeutung des Problems. Sie bringt das Problem in eine Form, in der Differentiation zu Algebra wird.

Deshalb ist die Methode besonders nützlich für lineare Anfangswertprobleme. Die Anfangsbedingung bleibt erhalten, aber die Gleichung selbst wird meist leichter lösbar.

Laplace-Transformationstabelle: häufige Paare

Das sind die Tabelleneinträge, die Studierende am häufigsten verwenden. Die Bedingung in der rechten Spalte ist wichtig, weil sie angibt, wo die Transformation existiert.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}$	Gültig für
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(bt)$	$\frac\{b\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(bt)$	$\frac\{s\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$

Wenn du nur mit reellwertigen Beispielen aus dem Unterricht arbeitest, erscheinen diese Bedingungen oft als Ungleichungen wie $s > 0$ oder $s > a$. Allgemeiner ist die Transformation auf einem Gebiet der komplexen $s$-Ebene definiert.

Eigenschaften der Laplace-Transformation, die den Großteil der Arbeit leisten

Du brauchst keine lange Liste. Diese drei Eigenschaften decken einen großen Teil der Aufgaben aus einem ersten Kurs ab.

Linearität

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

Damit kannst du eine Summe in einfachere Transformationen zerlegen.

Ableitungsregel

Wenn $f$ auf jedem endlichen Intervall stückweise stetig und von exponentieller Ordnung ist, dann gilt

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Das ist der entscheidende Schritt beim Lösen von Anfangswertproblemen. Der Anfangswert erscheint automatisch, statt später von Hand ergänzt zu werden.

Exponentielle Verschiebung

Wenn $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ gilt und beide Transformationen existieren, dann

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

Deshalb hängen viele Tabelleneinträge durch eine einfache Verschiebung in $s$ zusammen.

Inverse Laplace-Transformation: was sie bedeutet

Die inverse Laplace-Transformation beginnt mit $F(s)$ und gewinnt daraus die Funktion $f(t)$ im Zeitbereich zurück.

Theoretisch gibt es eine formale Inversionsformel. In den meisten Aufgaben im Unterricht wertest du diese Formel aber nicht direkt aus. Stattdessen bringst du $F(s)$ auf bekannte Tabellenformen, oft mit Algebra oder Partialbruchzerlegung, und liest dann die Antwort aus der Tabelle ab.

Durchgerechnetes Beispiel: Löse ein Anfangswertproblem mit der Laplace-Transformation

Betrachte

$$y'(t) + y(t) = 1, \qquad y(0) = 0$$

Sei

$$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$$

Wende auf beide Seiten die Laplace-Transformation an:

$$\mathcal{L}\{y'(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\}$$

Verwende die Ableitungsregel und den Tabelleneintrag für $1$:

$$sY(s) - y(0) + Y(s) = \frac{1}{s}$$

Da $y(0) = 0$ gilt,

$$(s+1)Y(s) = \frac{1}{s}$$

Also

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)}$$

Zerlege das nun in einfachere Brüche:

$$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}$$

Wende die inverse Laplace-Transformation gliedweise an:

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}$$

Daher gilt

$$y(t) = 1 - e^{-t}$$

Das ist der vollständige Ablauf der Laplace-Transformation in einem Beispiel: transformieren, in $s$ lösen und dann invertieren. Eine Differentialgleichung wurde zu einer Algebraaufgabe, und die Anfangsbedingung war von Anfang an in die Rechnung eingebaut.

Häufige Fehler bei der Laplace-Transformation

Die Konvergenzbedingung vergessen

Ein Tabelleneintrag ist nur dort gültig, wo das definierende Integral konvergiert. Wenn du diese Bedingung ignorierst, lässt du einen Teil der Antwort weg.

Den Anfangswert in $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ weglassen

Der Term $-f(0)$ wird leicht übersehen. Wenn du ihn weglässt, löst die transformierte Gleichung meist das falsche Problem.

Zu früh invertieren

Wenn $F(s)$ ein rationaler Ausdruck ist, ist es oft einfacher, ihn zuerst zu vereinfachen. Partialbruchzerlegung ist ein häufiger Schritt vor der inversen Transformation.

Wann die Laplace-Transformation verwendet wird

Die Laplace-Transformation ist besonders nützlich für lineare gewöhnliche Differentialgleichungen mit Anfangsbedingungen. Das ist die typische Anwendung im Unterricht.

Sie taucht auch in der Schaltungsanalyse, in Regelungssystemen, bei der Signalmodellierung und überall dort auf, wo exponentielle Antworten und Eingaben im Zeitbereich systematisch behandelt werden müssen.

Probiere deine eigene Variante

Versuche denselben Ablauf für

$$y'(t) + 2y(t) = 3, \qquad y(0) = 1$$

Transformiere die Gleichung, löse nach $Y(s)$ auf und invertiere dann. Wenn du eine schnelle Kontrolle möchtest, vergleiche dein endgültiges $y(t)$ mit der ursprünglichen Anfangsbedingung und mit der Differentialgleichung bei $t=0$.