Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterium

Das Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterium zeigt, wie viele Nullstellen eines charakteristischen Polynoms in der rechten Halbebene liegen, ohne die Nullstellen direkt zu berechnen. In der Regelungstechnik ist das ein schneller Test dafür, ob ein zeitkontinuierliches System asymptotisch stabil ist.

Für ein Polynom mit reellen Koeffizienten

$$p(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0,$$

mit $a_n > 0$ erstellt man die Routh-Tabelle und betrachtet ihre erste Spalte. Nach der Behandlung von Sonderfällen wie einer Null in der ersten Spalte oder einer vollständigen Nullzeile ist die Anzahl der Vorzeichenwechsel in dieser ersten Spalte gleich der Anzahl der Nullstellen mit positivem Realteil. Gibt es keine Vorzeichenwechsel, liegen alle Nullstellen in der offenen linken Halbebene.

Was das Routh-Hurwitz-Kriterium prüft

In den meisten Regelungsproblemen bedeutet Stabilität, dass jede charakteristische Nullstelle $\operatorname{Re}(s) < 0$ erfüllt. Diese Bedingung ist wichtig: Das übliche Routh-Hurwitz-Kriterium gilt für zeitkontinuierliche Systeme in der $s$-Ebene, nicht für zeitdiskrete Systeme in der $z$-Ebene.

Der praktische Vorteil ist die Geschwindigkeit. Man kann die Stabilität allein aus den Koeffizienten bestimmen, was oft einfacher ist als die exakten Nullstellen zu berechnen.

So baut man die Routh-Tabelle auf

Beginne damit, die Koeffizienten nach absteigenden Potenzen von $s$ aufzuschreiben. Die ersten beiden Zeilen enthalten abwechselnd die Koeffizienten:

$$\begin{array}{c|ccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \end{array}$$

Dann berechnet man die unteren Zeilen aus den jeweils zwei darüberliegenden Zeilen. Für ein kubisches Polynom

$$p(s) = s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3,$$

lautet die Tabelle:

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_2 \\ s^2 & a_1 & a_3 \\ s^1 & \dfrac{a_1 a_2 - a_3}{a_1} & 0 \\ s^0 & a_3 & 0 \end{array}$$

Für ein kubisches Polynom mit positivem Leitkoeffizienten erfordert asymptotische Stabilität also

$$a_1 > 0,\quad a_2 > 0,\quad a_3 > 0,\quad a_1 a_2 > a_3.$$

Gerade diese letzte Ungleichung wird oft übersehen. Positive Koeffizienten allein reichen nicht aus.

Durchgerechnetes Beispiel: positive Koeffizienten, aber instabil

Betrachte

$$p(s) = s^3 + s^2 + 2s + 8.$$

Alle Koeffizienten sind positiv, daher könnte das Polynom auf den ersten Blick stabil wirken. Die Routh-Tabelle zeigt, warum diese Schlussfolgerung falsch ist.

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & \dfrac{(1)(2) - (1)(8)}{1} & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Vereinfacht man die Zeile zu $s^1$, erhält man

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & -6 & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Betrachte nun nur die erste Spalte:

$$1,\quad 1,\quad -6,\quad 8.$$

Es gibt zwei Vorzeichenwechsel, von $1$ zu $-6$ und von $-6$ zu $8$. Das Polynom hat also $2$ Nullstellen in der rechten Halbebene, was bedeutet, dass das System instabil ist.

Das ist die wichtigste Intuition: Ab Grad $3$ garantieren positive Koeffizienten keine Stabilität.

Häufige Fehler beim Routh-Hurwitz-Kriterium

Nur die Koeffizienten prüfen

Wenn alle Koeffizienten positiv sind, bedeutet das nicht automatisch, dass das System stabil ist. Das durchgerechnete Beispiel oben ist genau das Gegenbeispiel.

Den Gültigkeitsbereich des Tests vergessen

Das übliche Routh-Hurwitz-Kriterium gilt für zeitkontinuierliche charakteristische Polynome in $s$. Wenn du ein zeitdiskretes System untersuchst, brauchst du einen anderen Test.

Sonderfälle ignorieren

Eine Null in der ersten Spalte oder eine vollständige Nullzeile ist ein Sonderfall, kein normaler Endpunkt des Verfahrens. Diese Fälle erfordern ein zusätzliches Vorgehen, oft mit einer kleinen Störung oder einem Hilfspolynom.

Das Polynom nicht normieren

Am sichersten ist es, das Polynom in absteigenden Potenzen von $s$ zu schreiben und den Leitkoeffizienten vor dem Aufbau der Tabelle positiv zu machen. Andernfalls lässt sich der Vorzeichentest leicht falsch lesen.

Wann das Routh-Hurwitz-Kriterium verwendet wird

Verwende das Routh-Hurwitz-Kriterium, wenn ein Modell auf ein charakteristisches Polynom führt und du schnell eine Aussage über die Stabilität brauchst.

In der Regelungstechnik prüft es, ob ein geschlossener Regelkreis stabil ist, ohne die Pole explizit zu berechnen. In elektrischen Schaltungen und mechanischen Modellen hilft es zu testen, ob Parameterwerte zu abklingenden oder anwachsenden Antworten führen. In der Auslegung ist es nützlich, Parameterbereiche zu finden, die ein System stabil halten.

Es ist besonders hilfreich, wenn die exakten Nullstellen zu berechnen zu aufwendig oder unnötig wäre.

Probiere einen ähnlichen Stabilitätstest

Wende denselben Prozess auf

$$p(s) = s^3 + 4s^2 + 5s + 2.$$

an. Bilde die erste Spalte und prüfe, ob Vorzeichenwechsel auftreten. Vergleiche dann dein Ergebnis mit der kubischen Bedingung $a_1 a_2 > a_3$, um zu sehen, dass beide Methoden übereinstimmen.