Übertragungsfunktion

Eine Übertragungsfunktion ist die Regel im Laplace-Bereich, die den Eingang eines linearen zeitinvarianten Systems mit seinem Ausgang verknüpft. Bei verschwindenden Anfangsbedingungen ist sie definiert als

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$

wobei $X(s)$ der transformierte Eingang und $Y(s)$ der transformierte Ausgang ist. Einfach gesagt zeigt sie, wie stark das System auf verschiedene Eingänge reagiert, ohne dass man jedes Mal die vollständige Differentialgleichung neu lösen muss.

Das ist nicht einfach in jeder Situation nur „Ausgang durch Eingang“. Die Definition gilt nur unter bestimmten Bedingungen, und diese Bedingungen sind wichtig.

Was eine Übertragungsfunktion aussagt

Die Übertragungsfunktion fasst das Verhalten eines Systems in einem einzigen Ausdruck zusammen. Wenn du $H(s)$ kennst, kannst du oft direkt erkennen, ob das System Teile des Eingangssignals verstärkt, abschwächt, verzögert oder filtert.

Bei Fragen zum sinusförmigen stationären Zustand wertet man sie auf der imaginären Achse als $H(i\omega)$ aus. Das liefert zwei praktische Informationen:

• den Betrag, der angibt, wie stark ein sinusförmiger Eingang mit Kreisfrequenz $\omega$ verstärkt oder abgeschwächt wird
• die Phase, die angibt, um wie viel der Ausgang gegenüber dem Eingang verschoben ist

Deshalb tauchen Übertragungsfunktionen in Schaltungen, Schwingungen, Filtern und der Regelungstechnik auf.

Wann $H(s) = Y(s)/X(s)$ gültig ist

Die übliche Formel setzt voraus, dass das System linear und zeitinvariant ist. Wenn die Linearität nicht gilt, lassen sich Eingänge nicht mehr nach dem üblichen Superpositionsprinzip kombinieren. Wenn die Zeitinvarianz nicht gilt, kann sich das System zu verschiedenen Zeiten unterschiedlich verhalten, sodass eine einzige feste Übertragungsfunktion nicht ausreicht.

Auch verschwindende Anfangsbedingungen sind wichtig. Gespeicherte Energie in einem Kondensator, einer Spule oder einem mechanischen Oszillator verändert den tatsächlichen Ausgang, aber dieser zusätzliche Beitrag ist nicht Teil der Übertragungsfunktion selbst. Die Übertragungsfunktion beschreibt die eingebaute Eingangs-Ausgangs-Beziehung des Systems unter der Standardannahme verschwindender Anfangsbedingungen.

Durchgerechnetes Beispiel: RC-Tiefpassfilter

Nimm einen Widerstand $R$ in Reihe mit einem Kondensator $C$ und miss den Ausgang über dem Kondensator. Im Laplace-Bereich ist die Impedanz des Kondensators $1/(sC)$, daher ergibt die Spannungsteilerregel

$$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}} = \frac{1}{1 + sRC}$$

Das ist die Übertragungsfunktion eines Tiefpasses. Niedrige Frequenzen werden leichter durchgelassen als hohe, deshalb sieht der Ausgang wie eine geglättete Version des Eingangssignals aus.

Wähle einen konkreten Fall:

$$R = 1000\ \Omega, \qquad C = 1\ \mu\mathrm{F}$$

Dann gilt

$$RC = 10^{-3}\ \mathrm{s}$$

also wird die Übertragungsfunktion zu

$$H(s) = \frac{1}{1 + 0.001s}$$

Die Grenzkreisfrequenz ist

$$\omega_c = \frac{1}{RC} = 1000\ \mathrm{rad/s}$$

das entspricht

$$f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \approx 159\ \mathrm{Hz}$$

An der Grenzfrequenz gilt

$$\left|H(i\omega_c)\right| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$

Die Ausgangsamplitude beträgt bei dieser Frequenz also etwa $70.7\%$ der Eingangsamplitude. Diese eine Zahl sagt schon etwas Nützliches aus: Die Schaltung beginnt Signale um $159\ \mathrm{Hz}$ und darüber merklich zu dämpfen.

Zur schnellen Plausibilitätsprüfung: Wenn $\omega \ll 1000\ \mathrm{rad/s}$, dann liegt $|H(i\omega)|$ nahe bei $1$, also ist der Ausgang fast genauso groß wie der Eingang. Wenn $\omega \gg 1000\ \mathrm{rad/s}$, wird der Betrag klein, sodass schnelle Schwingungen stark unterdrückt werden.

Häufige Fehler bei Übertragungsfunktionen

• Den Begriff für Systeme zu verwenden, die nicht als linear und zeitinvariant modelliert werden.
• Nicht klar festzulegen, welche Größe der Eingang und welche der Ausgang ist.
• So zu tun, als würde die Übertragungsfunktion bereits beliebige Anfangsbedingungen enthalten.
• Die allgemeine Übertragungsfunktion im Laplace-Bereich $H(s)$ mit dem Frequenzgang $H(i\omega)$ zu verwechseln.
• Nur den Betrag zu betrachten und die Phasenverschiebung zu ignorieren, obwohl die Phase physikalisch wichtig ist.

Wo Übertragungsfunktionen verwendet werden

Übertragungsfunktionen sind nützlich, wann immer ein System durch lineare Differentialgleichungen modelliert werden kann und dich interessiert, wie sich Eingänge auf Ausgänge übertragen. Häufige Beispiele sind RC- und RLC-Schaltungen, gedämpfte mechanische Oszillatoren, Rückkopplungssysteme und einfache Sensormodelle.

In der Physik sind sie besonders nützlich, wenn nicht der vollständige zeitliche Verlauf die Hauptfrage ist, sondern wie das System auf Anregung, Filterung oder Schwingung über verschiedene Frequenzen hinweg reagiert.

Probiere eine ähnliche Übertragungsfunktion aus

Betrachte dieselbe RC-Schaltung, miss den Ausgang aber über dem Widerstand statt über dem Kondensator. Du erhältst dann eine Hochpass-Übertragungsfunktion, und genau dieser Vergleich macht eine wichtige Idee klar: Wenn du den Ausgang änderst, ändert sich auch die Übertragungsfunktion.