Umfangsformel für den Kreis

Die Umfangsformel gibt die Strecke um einen Kreis an. Wenn du den Radius $r$ kennst, verwende

$$C = 2\pi r$$

Wenn du den Durchmesser $d$ kennst, verwende

$$C = \pi d$$

Das ist derselbe Zusammenhang, weil $d = 2r$.

Was die Formel bedeutet

Der Umfang ist die gesamte Strecke entlang des Randes eines Kreises. Der Radius ist die Strecke vom Mittelpunkt bis zum Rand. Der Durchmesser verläuft durch den Mittelpunkt einmal ganz durch den Kreis und ist daher doppelt so groß wie der Radius.

Deshalb funktionieren beide Formeln. Die eine verwendet direkt den Radius, die andere direkt den Durchmesser.

Warum $\pi$ vorkommt

Für jeden Kreis gilt:

$$\frac{C}{d} = \pi$$

Das bedeutet, dass der Umfang immer $\pi$ mal so groß ist wie der Durchmesser. Da $d = 2r$, kannst du das auch als $C = 2\pi r$ schreiben.

Gerechnetes Beispiel: Radius $5$ cm

Angenommen, ein Kreis hat den Radius $5$ cm. Verwende die Radiusformel:

$$C = 2\pi r$$

Setze $r = 5$ ein:

$$C = 2\pi(5) = 10\pi$$

Der genaue Umfang ist also $10\pi$ cm.

Wenn du eine Dezimalnäherung möchtest, verwende $\pi \approx 3.14$:

$$C \approx 10(3.14) = 31.4$$

Der Umfang beträgt also ungefähr $31.4$ cm.

Häufige Fehler

1. Den Durchmesser in $C = 2\pi r$ einsetzen, ohne ihn vorher durch $2$ zu teilen.
2. Umfang und Fläche verwechseln. Für die Fläche gilt $A = \pi r^2$, nicht die Umfangsformel.
3. Die Einheit weglassen. Wenn der Radius in Zentimetern angegeben ist, ist auch der Umfang in Zentimetern.
4. Zu früh runden, obwohl eine Aufgabe eine exakte Antwort in Abhängigkeit von $\pi$ verlangt.

Wann man die Umfangsformel verwendet

Verwende sie, wenn du die Strecke um einen kreisförmigen Gegenstand oder Weg brauchst.

Typische Fälle sind Räder, kreisförmige Laufbahnen, Rohre, Deckel und jede Geometrieaufgabe, in der ein Radius oder Durchmesser gegeben ist und nach der Strecke um den Kreis gefragt wird.

Probiere es selbst

Nimm einen Kreis mit dem Durchmesser $12$ m und berechne seinen Umfang mit $C = \pi d$. Prüfe dann dasselbe Ergebnis, indem du den Durchmesser zuerst in den Radius umrechnest. Wenn beide Methoden nicht zum selben Ergebnis führen, wurden Radius und Durchmesser wahrscheinlich verwechselt.