二重积分

二重积分是在二维区域上对一个函数进行累加。如果 $f(x,y) \ge 0$，它表示该区域上方曲面 $z=f(x,y)$ 下的体积。如果 $f$ 有正有负，那么它表示的是带符号的净体积。

通常写作

$$\iint_R f(x,y)\,dA$$

其中 $R$ 是 $xy$ 平面中的区域，$dA$ 是一个微小的面积元。实际做题时，初学阶段的大多数二重积分问题主要有两点：正确读出积分区域，以及选出真正与区域对应的积分限。

二重积分的含义是什么

可以从三个部分来理解：

• $f(x,y)$ 是被累加的函数。
• $R$ 是进行累加的区域。
• $dA$ 表示一个微小的面积元。

所以 $\iint_R f(x,y)\,dA$ 的意思就是：“把 $R$ 中所有微小面积元上的 $f$ 值都加起来。” 如果 $f(x,y)=1$，结果就是区域 $R$ 的面积。这是一个很有用的检验，因为它说明二重积分衡量的是在面积上的累积，而不只是曲面下的体积。

为什么二重积分常常写成累次积分

在很多微积分题目中，二重积分是通过把它化成两个单积分来计算的。对于矩形区域，更一般地说，在区域上满足连续等常见条件时，你可以一次对一个变量积分。

对于矩形 $R = [a,b] \times [c,d]$，

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$$

或者如果这样更简单，

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.$$

积分次序会影响设定方式和计算方便程度。在通常课程所讨论的条件下，这两个累次积分表示的是同一个量，但其中一种次序往往更容易计算。

对于单积分，你可以把它理解为把一个区间切成很多宽度为 $dx$ 的小段。对于二重积分，则是把一个区域切成很多面积为 $dA$ 的小矩形。

每个小矩形大约贡献

$$f(x,y)\,dA.$$

把整个区域中的这些贡献全部加起来，就得到总累积量。

矩形区域上的二重积分例题

求

$$\iint_R (x+2y)\,dA$$

其中

$$R = \{(x,y) : 0 \le x \le 2,\ 1 \le y \le 3\}.$$

这个区域是一个矩形，所以写成累次积分很直接：

$$\iint_R (x+2y)\,dA = \int_0^2 \int_1^3 (x+2y)\,dy\,dx.$$

先对 $y$ 积分。此时把 $x$ 看作常数：

$$\int_1^3 (x+2y)\,dy = \left[xy + y^2\right]_1^3 = (3x+9)-(x+1) = 2x+8.$$

现在再对外层表达式关于 $x$ 积分：

$$\int_0^2 (2x+8)\,dx = \left[x^2+8x\right]_0^2 = 4+16 = 20.$$

所以

$$\iint_R (x+2y)\,dA = 20.$$

这个结果是合理的，因为在整个区域 $R$ 上，$x+2y$ 始终为正，所以总累积量也应当为正。

当区域不是矩形时会有什么变化

如果积分区域不是矩形，那么积分限通常会依赖于另一个变量。例如，你可能会看到由曲线描述的区域：

$$0 \le x \le 1, \quad x^2 \le y \le x+1.$$

这时内层积分限就不再是常数，而是随 $x$ 变化。

这就是为什么画出区域很重要。在很多学生的解答中，代数计算本身没有问题，错的是积分区域。

二重积分中的常见错误

1. 使用了与目标区域不对应的积分限。
2. 忘记先对哪个变量积分。在 $\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$ 中，内层积分是对 $y$ 进行的。
3. 在计算内层积分时把两个变量都当作变量处理。此时应把外层变量看作常数。
4. 即使函数取负值，也默认结果是几何体积。实际上这种情况下，二重积分给出的是带符号体积。
5. 改变积分次序时，没有相应地正确修改积分限。

二重积分有哪些应用

只要某个量是分布在一个面积上，而不是沿着一条线分布，二重积分就会出现。

• 在几何中，它可以表示面积或曲面下的体积。
• 在物理中，当密度随位置变化时，它可以用来求薄片的质量。
• 在概率论中，它会出现在两个变量的连续联合分布中。
• 在工程中，当某个量在表面或截面上变化时，也会用到它。

具体含义取决于被积函数。如果被积函数表示密度，结果就是质量；如果被积函数表示高度，结果就是带符号体积。

试着做一道类似的题

你可以把上面的例题改成

$$\iint_R (2x+y)\,dA$$

并仍然取同一个矩形区域 $0 \le x \le 2$, $1 \le y \le 3$。然后交换积分次序，检查结果是否保持不变。如果你还想再进一步，可以尝试在一个三角形区域上做类似题目，这样积分限就会依赖于另一个变量。